比較審斂法

在數學領域，收斂性判別法是判斷無窮級數收斂、條件收斂、絕對收斂、區間收斂或發散的方法。比較審斂法又稱比較審斂原理，是判別級數斂散性的一種方法。

基本介紹

• 中文名：比較審斂法
• 外文名：Comparison test、Direct comparison test
• 別名：比較審斂原理

定理

設 為一收斂的無窮級數，當中每項 都是正實數，而無窮級數 中的 可為複數。假定對任意n有 （這裡代表取複數的模）。

（1）若 收斂，則 收斂。

（2）若 ，則級數 。

證明

（1）對於 有 ，第一個不等號是因有三角不等式而成立。按假定， 符合柯西收斂原理，所以 亦然。因為複數集的完備性，知 收斂。

（2）設數列 分別代表 ， 的部分和。因為對任意n有 ，所以 。由於 ，根據極限的保不等式性， ，即 。

推論

（1）如果級數 收斂，且存在正整數N，使當 時，(k>0)成立，則級數 收斂；

（2）如果級數 發散，且存在正整數N，使當 時，(k>0)成立，則級數 發散。

典型題

判斷一般項為 的無窮級數的收斂性：

因為 ，而一般項為1/n的級數發散（調和級數發散），由比較審斂法知此級數發散。