柯西乘積

在數學上，以法國數學家奧古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘積，是指兩組數列a_n，b_n的離散卷積。

基本介紹

• 中文名：柯西乘積
• 分類：數理科學

在數學上，以法國數學家奧古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘積，是指兩組數列a_n，b_n的離散卷積。

該數列乘積被認為是自然數R（∈N）的半群環的元素。

級數

一個特別重要的例子是考慮兩個嚴格的形式級數（不需要收斂）a_n，b_n：

一般地，對於實數和複數，柯西乘積定義為如下的離散卷積形式：

這裡

“形式”是指我們對級數運算時不考慮是否收斂，參見形式冪級數。

人們希望，通過對兩組級數做實際卷積的有限和的類推，得到無窮級數

等於乘積：

就如同兩個數列的和是有限範圍一樣做乘法。

在充分良態（well-behaved）的情況下，上述式子成立。而更重要的一點，儘管這兩個無窮級數可能不收斂，它們的柯西乘積仍可能存在。

示例

有窮級數

對於i>n、i>m，有x_i=0，y_i=0即為有窮級數，則∑x和∑y柯西乘積可以展開為 ，因此可以直接計算乘積。

無窮級數

對某些a,b∈R，構造 和 ，由定義和二項式展開可知：

形式上， ，我們已表明exp(a+b)=∑C(x,y)。由於該兩個絕對收斂數列的柯西乘積等於兩個數列極限的乘積，（見下面的證明），因此我們就可證明這個表達式對於a,b∈R有exp(a+b)=exp(a)exp(b)

另外一個例子，令x(n)=1（n∈N），則C(x,x)(n)=n+1對所有n∈N成立，則柯西乘積 ，該乘積不收斂。

收斂和梅爾滕斯定理

令x,y為實數數列，弗蘭茲·梅爾滕斯（Franz Mertens）提出，如果級數∑y收斂到Y，且級數∑x絕對收斂到X，則他們的柯西乘積∑C(x,y)收斂到XY。對於兩個級數為條件收斂時，結論不成立。例如序列 是一個條件收斂序列，而C(x,x)不收斂到0.

下面是一個證明：

梅爾滕斯定理的證明

令 ，重排後 。

則，對任意給定的 ε > 0，因為∑x絕對收斂，∑y收斂。

因此存在一個整數N，對於任意n≥N

和存在一個正整數M，對於所有，有（由級數收斂，則式子收斂到0），同樣的，存在一個整數L，如果有n≧L，則

因此，對於所有n大於N,M,L，有：

根據收斂的定義，即：。

切薩羅定理

如果x，y是實數數列，且，則有：