柯西乘積

在數學上，以法國數學家奧古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘積，是指兩組數列{\displaystyle a_{n},b_{n}}的離散卷積。

基本介紹

• 中文名：柯西乘積
• 分類：數理科學

在數學上，以法國數學家奧古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘積，是指兩組數列{\displaystyle a_{n},b_{n}}的離散卷積。

• {\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}

該數列乘積被認為是自然數{\displaystyle R[\mathbb {N} ]}的半群環的元素。

級數

一個特別重要的例子是考慮兩個嚴格的形式級數（不需要收斂）{\displaystyle a_{n},b_{n}}：

• {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\qquad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n},}

一般地，對於實數和複數，柯西乘積定義為如下的離散卷積形式：

• {\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n},}
  這裡{\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k},\,n=0,1,2,\ldots }

“形式”是指我們對級數運算時不考慮是否收斂，參見形式冪級數。

人們希望，通過對兩組級數做實際卷積的有限和的類推，得到無窮級數

• {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}}

等於如下乘積：

• {\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)}

就如同兩個數列的和是有限範圍一樣做乘法。

在充分良態（well-behaved）的情況下，上述式子成立。而更重要的一點，儘管這兩個無窮級數可能不收斂，它們的柯西乘積仍可能存在。

示例

有窮級數

對於{\displaystyle i>n}、{\displaystyle i>m}，有{\displaystyle x_{i}=0}，{\displaystyle y_{i}=0}即為有窮級數，則{\displaystyle \sum x}和{\displaystyle \sum y}柯西乘積可以展開為{\displaystyle (x_{0}+\cdots +x_{n})(y_{0}+\cdots +y_{m})}，因此可以直接計算乘積。

無窮級數

• 對某些{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }，構造{\displaystyle x_{n}=a^{n}/n!\,}和{\displaystyle y_{n}=b^{n}/n!\,}，由定義和二項式展開可知：

• {\displaystyle C(x,y)(n)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a^{i}}{i!}}{\frac {b^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {(a+b)^{n}}{n!}}}

形式上，{\displaystyle \exp(a)=\sum x}，{\displaystyle \exp(b)=\sum y}，我們已表明{\displaystyle \exp(a+b)=\sum C(x,y)}。由於該兩個絕對收斂數列的柯西乘積等於兩個數列極限的乘積，（見下面的證明），因此我們就可證明這個表達式對於{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }有{\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)}

• 另外一個例子，令{\displaystyle x(n)=1}（{\displaystyle n\in \mathbb {N} }），則{\displaystyle C(x,x)(n)=n+1}對所有{\displaystyle n\in \mathbb {N} }成立，則柯西乘積{\displaystyle \sum C(x,x)=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )}，該乘積不收斂。

收斂和梅爾滕斯定理

令x,y為實數數列，弗蘭茲·梅爾滕斯（Franz Mertens）提出，如果級數{\displaystyle \sum y}收斂到Y，且級數{\displaystyle \sum x}絕對收斂到X，則他們的柯西乘積{\displaystyle \sum C(x,y)}收斂到XY。對於兩個級數為條件收斂時，結論不成立。例如序列{\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}/n}是一個條件收斂序列，而{\displaystyle C(x,x)}不收斂到0.

下面是一個證明：

梅爾滕斯定理的證明

令{\displaystyle X_{n}=\sum _{i=0}^{n}x_{i}}，{\displaystyle Y_{n}=\sum _{i=0}^{n}y_{i}}，{\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}C(x,y)(i)}，重排後{\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{k=0}^{i}x_{k}y_{i-k}=\sum _{i=0}^{n}Y_{i}x_{n-i}}。

則{\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+YX_{n}}，對任意給定的 ε > 0，因為{\displaystyle \sum x}絕對收斂，{\displaystyle \sum y}收斂，因此存在一個整數N，對於任意n≥N{\displaystyle |Y_{n}-Y|<{\frac {\varepsilon /4}{\sum _{n=0}^{\infty }|x_{n}|+1}}}，和存在一個正整數M，對於所有{\displaystyle n\geq M}，有{\displaystyle |x_{n-N}|<{\frac {\varepsilon }{4N\sup |Y_{n}-Y|+1}}}（由級數收斂，則式子收斂到0），同樣的，存在一個整數L，如果有{\displaystyle n\geq L}，則{\displaystyle |X_{n}-X|<{\frac {\varepsilon /2}{|Y|+1}}}。

因此，對於所有n大於N,M,L，有：

• {\displaystyle |C_{n}-XY|=|\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+Y(X_{n}-X)|\leq \sum _{i=0}^{N-1}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+\sum _{i=N}^{n}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+|Y||X_{n}-X|<\varepsilon }

根據收斂的定義，即：{\displaystyle \sum C(x,y)\to XY.}

切薩羅定理

如果x，y是實數數列，且{\displaystyle \sum x\to A}，{\displaystyle \sum y\to B}，則有：

• {\displaystyle {\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=0}^{n}C(x,y)_{n}\right)\to AB.}