李普希茨條件

李普希茨條件

李普希茨條件(Lipschitz condition)亦稱赫爾德條件,限制函式增量變化大小的一種不等式形式的條件,若f是區間I上的函式,存在正的常數L和α(0<α≤1),使得只要x1,x2∈I,就有|f(x1)-f(x2)|≤L|x1-x2|α,則函式f稱為在區間I上滿足α階李普希茨條件,或稱為I上的α階李普希茨函式,記為f∈Lipα(I)或f∈Λα(I)。對任意α(0<α≤1),α階李普希茨函式都是連續函式。特別地,屬於Lip1的函式為絕對連續函式,因而除去一個勒貝格零測度集之外處處可微。一階李普希茨條件是李普希茨(R.(O.S.).Lipschitz)於1864年研究傅立葉級數的收斂判別法時引進的。不少作者把一階李普希茨條件稱為李普希茨條件。1876年,他把它用於微分方程有惟一解問題的討論。0<α<1的α階李普希茨條件其實是赫爾德(O.L.Hölder)引進的,所以又稱為α階赫爾德條件。

基本介紹

  • 中文名:李普希茨條件
  • 外文名:Lipschitz condition
  • 別稱:赫爾德條件
  • 所屬學科:數學
  • 提出者:李普希茨和赫爾德
基本介紹,相關定理,李普希茨連續映射,

基本介紹

1.設
為一函式,k為一正常數,若對於點
之鄰域中的所有點x,都有
則稱
在點
滿足李普希茨條件
2.設
為定義在
上的函式,k為一正常數, 若對於
中任意兩點
,都有
則稱
在區間
上滿足李普希茨條件
若函式
上滿足李普希茨條件,則該函式在
上必為絕對連續函式。換言之,絕對連續為李普希茨條件之必要條件,而李普希茨條件為絕對連續的充分條件。
若函式
上之任一點均有連續導數,則該函式在
上必滿足李普希茨條件。換言之,有連續導數是李普希茨條件之充分條件,而滿足李普希茨條件是有連續導數的必要條件。
3.設
為一函式,k為一正常數,若對於點
鄰域中的所有點
,都有
則稱
在點
滿足p次李普希茨條件
4.設
為定義在
上的函式,k為一正常數, 若對於
上之任意兩點
,都有
則稱該函式在
上滿足p次李普希茨條件。
顯然,1,2分別是3,4當p=1時的特例。
李普希茨(Lipschitz,1832-1903)是德國數學家,李普希茨條件是他在討論微分方程
解的存在唯一性定理時所引入的。

相關定理

定理1 如果函式
在域G中對t連續,且對變數x滿足李普希茨條件,則它必對
同時連續。 ·
例1 初值問題
試證明微分方程
的右端函式
不滿足對x的李普希茨條件。
證明:如果
滿足李普希茨條件,應有不等式
也即
這意味著在整個定義域
中,
應是有限的。 然而, 由於
時,
,因而這是不可能的。所以
不滿足李普希茨條件。也正因此, 由微分方程解的存在與唯一性定理可知,儘管右端
對x連續,卻並不能保證微分方程的解的唯一性。
現在,我們轉而研究初值問題
的解的存在與唯一性定理。
定理2 初值問題解的存在與唯一性定理 如果在某閉域上定義的函式
連續,且對x滿足李普希茨條件,則在t軸上必有一個包含
在內的區間
,在其中,存在一個滿足微分方程
及初始條件
的唯一解
這裡,重要的是指出以下各點:
(1) 如果在某閉域G中,上述微分方程的右端函式
具有有限的偏導數, 即
,其中,N為某個常數,則在整個G域中李普希茨條件必可得到滿足。
(2)實際上,滿足李普希茨條件的函式
比上述的還要寬廣。例如,微分方程
的右端函式
處不存在偏導數
,然而,如果看—下模值情況
顯然,如取李普希茨常數
就滿足對x的李普希茨條件了。
(3)儘管滿足李普希茨條件的函式
相對講比較寬廣,實用上,為了方便,常把滿足初值問題
的解的存在與唯一牲定理的條件取得更窄些。常見的初值問題的存在與唯一性定理表述如下。
定理3 初值問題解的存在與唯一性定理的另一種表達 如果在包括初始點
在內的某直角域
中,函式
連續,則在
中的某域
里,必有一個滿足初值問題
的唯一解存在。

李普希茨連續映射

李普希茨連續映射(Lipschitz continuousmapping)是滿足李普希茨條件的連續映射。
設有映射
,若有正常數L,使得
則稱
李普希茨連續映射,其中正常數L稱為李普希茨常數,(1)式表達的條件稱為李普希茨條件。李普希茨連續映射必是一致連續映射。

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