本原元素定理

簡介

在數學中，本原元素定理精確刻畫了什麼時候對於一個域擴張E/F，E可以表示為F(α)的形式，即E可以由單個元素生成。

本原元素定理(the theorem of the primitive e1-ement)是判定單擴張的重要命題，是對代數擴張在什麼條件下為單擴張問題的一個廣泛回答。若K=F是域F的代數擴域，

為F上可分元，則存在一個元素使得K=F(B)，其中B稱為本原元素。特別地，有限次可分擴域必為單擴域，此為本原元素定理。施泰尼茨<Steinitz, E.)給出更一般的定理：有限次擴張是單擴張的充分必要條件為其中間域的個數有限。

定理

一個有限擴張E/F有本原元，即存在α使得E=F(α)，若且唯若E和F之間只有有限箇中間域。

證明

如果F是有限域，由於E/F是有限擴張，推得E也是有限域。但是由於有限域的乘法群是循環群，任取這個乘法群的一個生成元，E可以由這個生成元生成。所以在F是有限域的情況下，定理左右兩邊恆為真。

如果F是無限域，但是只有有限箇中間域。先證明一個引理：假設E=F(α，β)並且E和F之間只有有限箇中間域，那么存在一個γ∈E使得E=F(γ)。

引理的證明如下：當c取遍F的時候，對於每一個c可以做一個中間域F(α+cβ)。但是由假設，只有有限箇中間域，因此必定存在

，

，使得F(α+c₁β)=F(α+c₂β)。由於α+c₁β，α+c₂β都在這個域裡，推得(c₁-c₂)β也在這個域裡。由於c₁≠c₂，推得β在這個域裡，於是α也在這個域裡，因此E=F(α，β)是F(α+c₁β)的子集，F(α+c₁β)是F(α，β)的子集，於是F(α+c₁β)。引理證畢。

由於有限擴張總是有限生成的，推得

（對於

）。利用歸納法以及引理可以得出，如果E/F之間只有有限箇中間域，那么E可以由單個元素生成。

而如果E=F(α)，假設f(x)=irr(α，F，x)是α在F上的極小多項式，K是任意一個中間域，g_K(x)=irr(α，K，x)是α在K上的極小多項式。顯然g_K(x)整除f(x)，由於域上的多項式環是唯一分解環，f(x)只有有限個因子。而對於每一個g_K(x)整除f(x)，如果g_K(x)寫作