基本介紹
- 中文名：有限維向量空間
- 外文名：finite dimensional vector space
- 所屬學科：數學
- 相關概念：線性組合，有限基等
基本介紹,相關概念及定理,
基本介紹
將只含有零向量的向量空間稱為零空間，一個零空間是有限維向量空間。
相關概念及定理
定義1 向量組的極大線性無關部分組所含向量的個數，稱為該向量組的秩。
命題1 一向量組線性無關的充分必要條件是它的秩與它所含向量的個數相等。
命題2 等價的向量組，其秩相等。
定義2數域P上向量空間V的一組線性無關的生成元，稱為向量空間V在P上的一個基底。
由定義知道，有基底的向量空間一定是有限維向量空間，反之是否正確呢?我們知道，零空間是一個有限維向量空間，但沒有基底，這個向量空間太特殊了。現在要問，不是零空間的有限維向量空間是否均有基底呢?請看下面的定理。
定理1數域P上任意非零有限維向量空間必有基底。
定理2設
是向量空間V的一個基底，又
也是V的一個基底，則
。
定義3 非零有限維向量空間V的任一個基底所含向量的個數稱為V的維數。複數域C，如果看作是以自己為基域的向量空間，則它是一維的，數1就是它的一個基底；如果看作實數域R上的向量空間，則它是二維的數1和
就是它的一個基底，此例說明，維數與所考慮的基域有關。
由於零空間顯然沒有基底，所以對於這種空間不能套用
定義4 零空間的維數是零。
定義5(基底的另一種定義)如果數域P上的向量空間V中有n個線性無關的向量
，且V中每一個向量均可由它們線性表示，那么稱為V的一個基底。
定理3 設V是數域P上的n維向量空間，則V中任意
個向量必線性相關。
定理4 設V是數域P上的一個n維向量空間，則V中任意n個線性無關的向量組均組成V的一個基底。
