有向單形

有向單形(oriented simplex)是建立同調群的重要概念。一個q維單形，它的q+1個頂點有(q+1)!個不同次序的排列，當q>0時，這些排列可分成兩組，同組的任意兩個排列相差偶數個對換，不同組的任意兩個排列相差奇數個對換，這兩組排列稱為此單形的兩個定向，換言之，根據頂點次序是奇排列還是偶排列分成兩組，稱為q的兩個定向，並且稱為互為相反的定向，指定一個定向的單形稱為有向單形。

基本介紹

• 中文名：有向單形
• 外文名：oriented simplex
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：代數拓撲學
• 相關概念：單純形，單純復形等

基本介紹

一個 維單形 ，它的 個頂點有 個不同次序的排列，當 時，這些排列可分成兩組，同組的任意兩個排列相差偶數個對換，不同組的任意兩個排列相差奇數個對換，這兩組排列稱為單形 的兩個定向。換言之，根據頂點次序是奇排列還是偶排列分成兩組，稱為 的兩個定向，並且稱為互為相反的定向。

指定一個定向的單形稱為有向單形。例如，排列 與 就確定了 的兩個相反定向，相應的兩個有向單形分別記為 與 ，若把一個記為 ，則另一個就記為 ，對於零維單形只有一個頂點，為統一起見用 表示它的兩個定向，有向單形在 時分別是有向線段和有向三角形。為區別起見，原來的單形可稱為無向單形。單純復形是幾何對象，而群是代數對象，從復形過渡到它的同調群，關鍵是單形的定向與邊緣運算元這兩個概念。

相關定義與定理

設 是Rⁿ中的點，若 具有線性關係，則說明這一組點占有最廣的位置。當 時就是一個點，自然此點占有最廣位置。

單純形

設 是Rⁿ中占有最廣位置的 點，而 ，則我們稱點 的集合

為q維單純形，簡稱q維單形， 稱為 頂點，故常將 記作 ，而係數 稱為此單純形的重心坐標。

定義 對於q維單形 ，稱 的( )個頂點中的 個點 所構成的 維單形 為 的一個r維面， 的0維面就是頂點，把1維面稱為棱。

例1 考慮3維單形，對於點，就有，

例如，維面，為棱，為面，為體，如圖1所示。

圖1 3維單形(四面體)

有向單形與無向單形

當 時， 的 點有 個排列，它們決定同一個 ，這樣的單形 被稱為無向單形，在 排列中，有一半是偶置換，一半是奇置換，因而這兩個置換等價類構成了 兩個定向，指定一個定向單形稱為有向單形，簡記“”=，這裡指頂點次序為的有向單形；另一個定向單形記作“”=，以單純形作為構件，可以組成單純複合形、多面體和鏈。

單純複合形(復形)

如果或是一個公共面，則單形和是規則相處的，如圖2所示，否則是不規則相處的，如圖,3所示。

圖2 規則相處

圖3 不規則相處

設W是Rⁿ中有限個單形集合，如果W滿足下列兩個條件：

(1)如果，的任一面也屬於W；

(2)W的任意兩個單形和規則相處，

則稱W為單純複合形，簡稱為復形，如圖4所示；否則是非復形，如圖5所示。

圖4 復形

圖5 非復形

有向單形的基本組

設W是一個n維復形，它的全體無向單形

都己任意地規定了一個定向，這裡為W中q維單形的個數，這樣，得到一組有向單形

上式稱為W的有向單形的基本組。

鏈

設為n維復形W的一個基本組，對於，形式地定義

稱為W的一個q維鏈。

1維鏈可看作是有向的折線。

鏈邊界

如果把邊界運算元擴展到有向單形和復形上去，則有下面的鏈邊界。

定義 對於任意q維有向單形，我們定義()維鏈：

稱之為的邊界鏈或簡稱邊界。式中表示缺這一點，也可以把擴展到W的q維鏈上去，定義W的任意q維鏈的邊界為

由此可見，邊界運算元建立了鏈群到的一個同態：