復形

復形是組合拓撲的基本概念之一，許多種拓撲空間的研究都可化歸為復形拓撲性質的研究，復形是不同維的正常分布的單純形之總和，即復形中任意兩個單純形，或不相交，或僅具有公共邊界等。此外，復形中單純形所有邊界均屬於單純形，復形中單純形最高維數稱之為復形的維數。

基本介紹

• 中文名：復形
• 外文名：complex
• 別稱：單純復形，幾何單純復形等
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：組合拓撲(單純同調論)

基本介紹

單純復形(simplicial complex)亦稱幾何單純復形，是單純同調論中的一個基本概念，是用單形構造的並且按一定規則組成的圖形，它是定義一類拓撲空間的工具。

下面用單形構造更複雜的圖形——復形：

定義 K是單形的有限集合。如果K滿足

(1) 若是K的單形，則的任意面都屬於K；

(2) K中所有有單形都規則相處(見下文“規則相處”的介紹)；

那么稱K為單純復形，簡稱復形。K中單形維數的最大值為K的維數，記作，K的零維單形稱為K的頂點。

單純復形的連通性

單純復形的連通性(connectivity of simplicial complex)是拓撲空間的連通性在復形上的推廣。若復形K不是兩個非空不相交的子復形的並集，則稱復形K是連通的。若L是復形K的連通子復形，並且L不是任何其他連通子復形的真子復形(實際上L是K的極大的連通子復形)，則稱L為K的一個連通分支，復形K的連通性等價於下列各條件：

1.對於復形K中任意頂點a與b，存在K的一系列頂點，使得都是K的1維單形。

2.復形K的多面體是道路連通的。

3.復形K的多面體是連通的。

任意復形K都是有限個互不相交的連通分支的並，因此多面體是相同個數互不相交的連通分支的並，若單純復形K是個連通分支的並集，則各維同調群有下列直和分解

對於零維同調群，當復形K是連通復形時，，這裡Z是整數加群。而當復形K是r個連通分支的並集時，是r個整數加群Z的直和，即

相關定義與定理

單純形

設是Rⁿ中的點，若具有線性關係，則說明這一組點占有最廣的位置。當時就是一個點，自然此點占有最廣位置。

單純形

設是Rⁿ中占有最廣位置的點，而，則我們稱點的集合

為q維單純形，簡稱q維單形，稱為頂點，故常將記作，而係數稱為此單純形的重心坐標。

定義對於q維單形，稱的()個頂點中的個點所構成的維單形為的一個r維面，的0維面就是頂點，把1維面稱為棱。

例1考慮3維單形，對於點，就有，

例如，維面，為棱，為面，為體，如圖1所示。

圖1 3維單形(四面體)

有向單形與無向單形

當時，的點有個排列，它們決定同一個，這樣的單形被稱為無向單形，在排列中，有一半是偶置換，一半是奇置換，因而這兩個置換等價類構成了兩個定向，指定一個定向單形稱為有向單形，簡記“”=，這裡指頂點次序為的有向單形；另一個定向單形記作“”=，以單純形作為構件，可以組成單純複合形、多面體和鏈。

單純複合形(復形)

如果或是一個公共面，則單形和是規則相處的，如圖2所示，否則是不規則相處的，如圖3所示。

圖2 規則相處

圖3 不規則相處

設W是Rⁿ中有限個單形集合，如果W滿足下列兩個條件：

(1)如果，的任一面也屬於W；

(2)W的任意兩個單形和規則相處，

則稱W為單純複合形，簡稱為復形，如圖4所示；否則是非復形，如圖5所示。

圖4 復形

圖5 非復形

有向單形的基本組

設W是一個n維復形，它的全體無向單形

都己任意地規定了一個定向，這裡為W中q維單形的個數，這樣，得到一組有向單形

上式稱為W的有向單形的基本組。

鏈

設為n維復形W的一個基本組，對於，形式地定義

稱為W的一個q維鏈。

1維鏈可看作是有向的折線。

鏈邊界

如果把邊界運算元擴展到有向單形和復形上去，則有下面的鏈邊界。

定義對於任意q維有向單形，我們定義()維鏈：

稱之為的邊界鏈或簡稱邊界。式中表示缺這一點，也可以把擴展到W的q維鏈上去，定義W的任意q維鏈的邊界為

由此可見，邊界運算元建立了鏈群到的一個同態：