對稱變換

若一個平面圖形K在平面剛體運動m的作用下仍與原來的圖形重合,就說K具有對稱性,m叫做K的對稱變換。

對稱變換一般分為:關於X軸或Y軸對稱、關於某一點對稱、關於某條直線對稱。

基本介紹

  • 中文名:對稱變換
  • 外文名:symmetrical transformation 
  • 相關術語:反對稱變換
  • 學科:數學
  • 套用:數形結合處理、圖像處理
  • 基本概念:在某一作用下仍與原來的圖形重合
形狀對稱變換,合成,性質,分類,逆變換,多項式,

形狀對稱變換

1、正三角形在下面六個平面剛體運動中保持不變:
(1)恆等變換,記作I。
(2)關於對稱軸r1所在直線的反射,記作r1。
(3)關於對稱軸r2所在直線的反射,記作r2。
(4)關於對稱軸r3所在直線的反射,記作r3。
(5)以重心O為中心轉120° 的旋轉,記作ρ1。
(6)以重心O為中心轉240° 的旋轉,記作ρ2。
正三角形的六個對稱變換組成的集合記作D3,即D3={I,r1,r2,r3,ρ1,ρ2}。
2、正四邊形在下面八個平面剛體運動中保持不變:
(1)恆等變換,記作I。
(2)關於對稱軸r1所在直線的反射,記作r1。
(3)關於對稱軸r2所在直線的反射,記作r2。
(4)關於對稱軸r3所在直線的反射,記作r3。
(5)關於對稱軸r4所在直線的反射,記作r4。
(6)以重心O為中心轉90° 的旋轉,記作ρ1。
(7)以重心O為中心轉180° 的旋轉,記作ρ2。
(8)以重心O為中心轉270° 的旋轉,記作ρ3。
正四邊形的八個對稱變換組成的集合記作D4,即D4={I,r1,r2,r3,r4,ρ1,ρ2,ρ3}。

合成

一個平面圖形的兩個對稱變換a與b的合成(先做變換a,再做變換b)仍然是這個平面圖形的對稱變換,記作b·a。

性質

1、對於任意對稱變換a與恆等變換I,都有a·I=I·a。
2、一般地,平面圖形的對稱變換不滿足交換律(除恆等變換外)。
3、平面圖形的對稱變換滿足結合律

分類

對稱變換主要有:
1、y=f(-x) 與y=f(x) 的圖象關於y軸對稱;
f(-x)=f(x),則函式自身的圖象關於y軸對稱。
2、y=-f(x) 與y=f(x) 的圖象關於x軸對稱。
3、y=-f(-x) 與y=f(x) 的圖象關於原點對稱;
f(-x)=-f(x),則函式自身的圖象關於原點對稱。
4、y=f(x) 與y=f(x) 的圖象關於直線y=x對稱。
5、y=-f(-x) 與y=f(x) 的圖象關於直線y=-x對稱。
6、y=f(2ax) 與y=f(x) 的圖象關於直線x=a對稱;
f(x)=f(2ax)(或f(a+x)=f(ax)),則函式自身的圖象關於直線x=a對稱。
7、y=2bf(x) 與y=f(x) 的圖象關於直線y=b對稱。
8、y=2bf(2ax) 與y=f(x) 的圖象關於點(ab)對稱。
例1、設函式y=f(x)的定義域是R,且f(x-1)=f(1-x),那么f(x)的圖象有對稱軸( )。
A.直線x=0 B.直線x=1
C.直線y=0 D.直線y=1
【解析】設x-1=t,f(t)=f(-t),函式為偶函式,關於y軸對稱。故答案選D。
例2、已知函式f(x)定義域為R,則下列命題中
y=f(x)為偶函式,則y=f(x+2)的圖象關於y軸對稱.
y=f(x+2)為偶函式,則y=f(x)關於直線x=2對稱.
③若f(x-2)=f(2-x),則y=f(x)關於直線x=2對稱.
y=f(x-2)和y=f(2-x)的圖象關於x=2對稱.
其中正確命題序號有_____(填上所有正確命題序號).
【解析】 ①y=f(x)是偶函式,而f(x+2)是將f(x)的圖象向左平移2個單位得到的,則對稱軸左移2個單位為x=-2,所以f(x+2)圖象關於直線x=-2對稱。
y=f(x+2)為偶函式,則f(x+2)=f(2-x),所以y=f(x)圖象關於直線x=2對稱。
③令x-2=t ,則2-x=-t,f(t)=f(-t),y=f(x)的圖象關於y軸對稱。
f(x)與f(-x)的圖象關於y軸對稱,將f(x)與f(-x)的圖象分別向右平移2個單位,分別得到f(x-2)與f(2-x)的圖象,對稱軸右移2個單位為直線x=2.。
【答案】 ②④

逆變換

1、若兩個對稱變換a、b滿足a·b=b·a=I,那么b(或a)叫做a(或b)的逆變換,記作
2、b·a的逆變換是

多項式

1、如果一個多項式F經過字母的替換仍與原來的多項式相等,那么就說F具有對稱性,上述字母的替換叫做多項式的對稱變換
2、設一個多項式的下標組成的集合為{1,2,3,…,n},σ是n元對稱群Sn中的一個置換,如果對多項式的下標進行置換σ後仍與原來的多項式相等,那么置換σ就叫做多項式的對稱變換
3、如果一個n次多項式的對稱變換是Sn中的全部變換,這樣的多項式叫做對稱多項式

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們