旋轉群

在經典力學與幾何學里，所有環繞著三維歐幾里得空間的原點的旋轉，組成的群，定義為轉動群或旋轉群。

根據定義，環繞著原點的旋轉是一個保持矢量長度，保持空間取向（遵守右手定則或左手定則）的線性變換。

基本介紹

• 中文名：旋轉群
• 外文名：rotation group
• 關鍵字：群論，李群，歐幾里得幾何
• 又名：轉動群
• 定義：環繞三維歐幾里得空間原點旋轉群
• 套用學科：經典力學與幾何學

定義

在經典力學與幾何學里，所有環繞著三維歐幾里得空間的原點的旋轉，組成的群，定義為旋轉群。根據定義，環繞著原點的旋轉是一個保持矢量長度，保持空間取向（遵守右手定則或左手定則）的線性變換。假若，一個線形變換保持矢量長度，逆反空間取向，則稱此變換為假旋轉。

兩個旋轉的複合等於一個旋轉。每一個旋轉都有一個獨特的逆旋轉；零角度的旋轉是單位元。旋轉運算滿足結合律．由於符合上述四個要求，所有旋轉的集合是一個群。更加地，旋轉群擁有一個天然的流形結構。對於這流形結構，旋轉群的運算是光滑的；所以，它是一個李群。旋轉群時常會用 SO(3) 來表示。

長度與角度

除了保持長度（保長），旋轉也保持矢量間的角度（保角）。原因是兩矢量u和v的內積可寫作：

R中的保長轉換保持了標量內積值不變，也因此保持了矢量間的角度。包括SO(3)在內的一般性情形，參見典型群。

旋轉軸

三維空間中非平凡的旋轉，皆繞著一個固定的“旋轉軸”，此旋轉軸是R的特定一維線性子空間（參見：歐拉旋轉定理）。旋轉作用在與旋轉軸正交的二維平面，如同尋常的二維旋轉。既然二維旋轉皆可以旋轉角φ表示，則任意三維旋轉則可用旋轉軸搭配旋轉角來表示。

舉例來說，繞著正z軸旋轉φ角的逆時針旋轉為

給定R中一單位矢量n以及角度φ，設R(φ, n)代表繞n軸作角度φ的逆時針旋轉，則：

• R(0,n)為相等轉換（identity transformation），n任意單位矢量；
  
• R(φ,n) =R(−φ, −n)；
  
• R(π + φ,n) =R(π − φ, −n)。
  

利用這些特性，參數為旋轉角φ（範圍： 0 ≤ φ ≤ π）與單位矢量n的任意旋轉有如下性質：

• 若φ = 0，n可為任意單位矢量；
  
• 若0 < φ < π，n為特定單位矢量；
  
• 若φ = π，n為彼此反向的兩特定單位矢量；亦即，旋轉R(π, ±n)是等價的。
  

有限子群

SO(3)中只有很少的幾個有限子群，且它們全部是熟悉的對稱群，包括有：

• C_k：繞一條直線轉過角度2π/k的倍數的旋轉的循環群
  
• D_k：正k邊形的二面體群
  
• T：將正四面體映為自身的十二個旋轉四面體群
  
• O：立方體或正八面體旋轉的24階八面體群
  
• I：正十二面體或正二十面體的60個旋轉的二十面體群
  

套用

常見的三維旋轉群有如下幾種：

正六面體：階24, 頂點8個，面6個，棱12條，均為正方形

轉動群	頂點	面	棱	個數
不動	(1)^8	(1)^6	(1)^12	1
面心-面心, ±90度	(4)^2	(1)^2 (4)	(4)^3	6
面心-面心180度	(2)^4	(1)^2 (2)^2	(2)^6	3
棱心-棱心180度	(2)^4	(2)^3	(1)^2 (2)^5	6
空間對角線±120度	(3)^2 (1)^2	(3)^2	(3)^4	8

正八面體：階24, 頂點6個，面8個，棱12條，均為等邊三角形

轉動群	頂點	面	棱	個數
不動	(1)^6	(1)^8	(1)^12	1
頂點-頂點 ±90度	(1)^2 (4)	(4)^2	(4)^3	6
頂點-頂點 180度	(1)^2 (2)^2	(2)^4	(2)^6	3
棱心-棱心 180度	(2)^3	(2)^4	(1)^2 (2)^5	6
面心-面心 ±120度	(3)^2	(3)^2 (1)	(3)^4	8

正十二面體：階60, 頂點20個，面12個，棱30條，均為正五邊形

轉動群	頂點	面	棱	個數
不動	(1)^20	(1)^12	(1)^30	1
面心-面心±72,±144度	(5)^4	(1)^2 (5)^2	(5)^6	24
棱心-棱心180度	(2)^10	(2)^6	(1)^2 (2)^14	15
頂點-頂點±120度	(1)^2 (3)^6	(3)^4	(3)^10	20

正二十面體：階60, 頂點12個，面20個，棱30條，均為等邊三角形

轉動群	頂點	面	棱	個數
不動	(1)^12	(1)^20	(1)^30	1
頂點-頂點±72,±144度	(1)^2 (5)^2	(5)^4	(5)^6	24
棱心-棱心180度	(2)^6	(2)^10	(1)^2 (2)^14	15
面心-面心±120度	(3)^4	(1)^2 (3)^6	(3)^10	20

足球：階60, 頂點60個，面32個，棱數90條，20個正六邊形，12個正五邊形

轉動群	頂點	面	棱	個數
不動	(1)^60	(1)^32	(1)^90	1
五邊形面心-五邊形面心±72,±144度	(5)^12	(1)^2 (5)^6	(5)^18	24
六邊形面心-六邊形面心±120度	(3)^20	(1)^2 (3)^10	(3)^30	20
正六邊形棱中-棱180度（這種棱有30條）	(2)^30	(2)^16	(1)^2 (2)^44	15

類足球(正八面體切掉角)：階24，頂點24個，面14個，棱數36條，8個正六邊形，6個正方形

轉動群	頂點	面	棱	個數
不動	(1)^24	(1)^14	(1)^36	1
正方形面心-正方形面心±90度	(4)^6	(1)^2 (4)^3	(4)^9	6
正方形面心-正方形面心180度	(2)^12	(1)^2 (2)^6	(2)^18	3
六邊形面心-六邊形面心±120度	(3)^8	(1)^2 (3)^4	(3)^12	8
六邊形棱中-六邊形棱中180度	(2)^12	(2)^7	(1)^2 (2)^17	6