施圖姆-劉維爾問題

施圖姆-劉維爾問題,即施圖姆-劉維爾理論,在數學及其套用中,以雅克·夏爾·弗朗索瓦·施圖姆(1803–1855)和約瑟夫·劉維爾(1809–1882)的名字命名,具體定義見正文。

基本介紹

  • 中文名:施圖姆-劉維爾問題
  • 外文名:Sturm–Liouville theory
  • 別稱:施圖姆-劉維爾理論
簡介,一些函式的施圖姆-劉維爾形式,貝塞爾方程,勒讓德方程,使用積分因子的例子,一般形式二階常微分方程的積分因子,

簡介

在數學及其套用中,以雅克·夏爾·弗朗索瓦·施圖姆(1803–1855)和約瑟夫·劉維爾(1809–1882)的名字命名的施圖姆-劉維爾方程是指二階線性實微分方程:
其中函式p(x),w(x),q(x)均為已知函式;y(x)為待求解函式,稱為解;
是一個未定常數。w(x)又記為
,稱為權函式。
在一個正則的施圖姆-劉維爾(S-L)本徵值問題中,在有界閉區間[a,b]上,三個係數函式{\displaystyle p(x),w(x),q(x)}應滿足以下性質:
均連續;y(x)}滿足邊界條件
只有一些恰當的
能夠使得方程擁有滿足上述條件的非平凡解(非零解)。這些
稱為方程的本徵值,對應的非平凡解稱為本徵函式,而本徵函式的集合則稱為本徵函式族。施、劉二人在一些由邊界條件確定的函式空間中,引入埃爾米特運算元,形成了施圖姆-劉維爾理論。這個理論提出了本徵值的存在性和漸近性,以及本徵函式族的正交完備性。這個理論在套用數學中十分重要,尤其是在使用分離變數法求解偏微分方程的時候。
施圖姆-劉維爾理論提出:施圖姆-劉維爾本徵值問題,存在無限多個實數本徵值,而且可以排序為:
對於每一個本徵值
都有唯一的(已被歸一化的)本徵函式
,且
在開區間(a,b)上有且僅有n-1個零點。其中稱為滿足上述施圖姆-劉維爾本徵值問題的第n個基本解;
已歸一化的本徵函式族在希爾伯特空間
上有正交性和完備性,形成一組正交基:
其中
克羅內克函式

一些函式的施圖姆-劉維爾形式

只要乘以一個恰當的積分因子,所有二階常微分方程都可以寫成施圖姆-劉維爾形式。

貝塞爾方程

等價於:

勒讓德方程

注意到D(1−x) = −2x,因此等價於:

使用積分因子的例子

兩邊同時除以x:
再乘以積分因子:
得到:
又注意到:
因此原方程等價於:

一般形式二階常微分方程的積分因子

兩邊同時乘以積分因子:
整理後得到:
或者把積分因子寫出來:

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