非平凡解是矩陣代數中的定義，屬高等數學內容。非平凡解是齊次方程或齊次方程組的非零解。
基本介紹
- 中文名：非平凡解
- 領域：數學
- 學科：線性代數
- 對象：齊次方程或齊次方程組
- 性質：非零解
概念,齊次方程,線性代數,矩陣,
概念
非平凡解是齊次方程或齊次方程組的非零解。假設AX=0，如果行列式|A|=0，那么A不可逆， 則X有非平凡解；否則，A可逆，那么只有解X=0，即是平凡解。
解決非平凡問題的方法，有SVD法。
因為任何線性空間的子空間都過零點，所以明顯的等於0的時候解是成立的，但這顯然沒什麼意義，說這個0解是平凡的，否則，就存在不平凡解了。
齊次方程
若對多項式f(x1，x2，…，xn)中的變數作變換xi=tyi(i=1，2，…，n)，有f(x1，x2，…，xn)=tk·f(y1，y2，…，yn) (k∈N)，則稱f(x1，x2，…，xn)為k次齊次式。簡稱齊次式。
若f(x1，x2，…，xn)是齊次式，則稱方程：f(x1，x2，…，xn)=0為齊次方程。
例如，x+y+z=0，x3+xy2+x2y+y3=0等都是齊次方程。
由齊次方程的定義可知：①齊次方程的常數項是零；②齊次方程必有零解；③齊次方程各項未知數的次數都相同，也就是說是整齊的，所以稱為齊次方程。
線性代數
線性代數是現代數學的重要基礎之一， 主要處理線性關係問題，數學對象的關係 用一次形式表達的就是線性關係。例如， 一次代數方程ax+b=c，對於變數x來說 就是線性的。中學數學中由若干個變數的 一次代數方程聯繫的線性方程組求解就是 線性代數的基本問題之一。線性代數主要 研究行列式、矩陣、線性方 程組、向量空間、線性變換 和二次型等，矩陣是它的主 要工具，形成了線性代數的 核心內容。線性代數已是數 學、物理、化學、工程、電 工技術、天文、運籌等學科 必不可少的理論基礎與工具。 由於線性代數的理論很成熟， 一些複雜的非線性問題也可 化為線性問題來求解，計算 機輔助分析中的有限元法就 是一個典型。有限元法把復 雜產品的應力、應變的計算、 熱傳導計算等，都化為龐大 的線性代數方程組來求解， 這對於有高速電子計算機的今天是容易辦 到的，這使過去很難精確計算的大型工程 問題得以解決。20世紀中葉，線性代數趨 於抽象化，線性空間被視為域上的模，一 般模論尤其環上的模，在代數、幾何與群 表示論中有重要套用，也是研究同調代數、 範疇論、代數拓撲的基礎。
線性代數從一般線性方程組出發，以 行列式、矩陣及其代數運算、向量及其線 性關係 (線性相關，線性無關，線性組合 等)、秩等為工具討論了一般線性方程的四 個問題： 解存在的充分必要條件; 有解時 解的個數; 有解時求解的方法; 矛盾方程 組的判定。加減法、代入法等經高斯推廣 成為著名的高斯消元法，經改進在計算機 上實現。從向量及其線性關係得到線性 (向量) 空間的概念，加入 “度量” 得到歐 幾里得空間。討論了表現空間中向量間關 系的線性變換，線性變換通過基底轉化為 矩陣表示，特別值得重視的是線性變換或 矩陣的特徵值與特徵向量。
矩陣的初等變換 (與線性方程組緊密 聯繫)，矩陣的標準形 (如對角形，若當標 準形，有理標準形等)，矩陣的分解 (如上 下三角形分解，可勒斯基分解等)，特殊矩 陣 (如正交陣與酉陣——相當於空間的直 角坐標變換、對稱陣與額爾米特陣——與 二次型緊密聯繫、反對稱陣、稀疏矩陣、 非負元素矩陣或稱斯瑪哈斯提陣——套用 於機率論中馬爾可夫鏈、力學中彈性振動 的顫動性質) 等，組成線性代數的基本內 容。現在還包括研究矩陣的微分與積分運 算，矩陣函式，多重線性映射和張量。
矩陣
數學中重要的基本概念之一，是代數學的一個主要研究對象，也是數學研究和套用的一個重要工具。
矩陣的理論起源，可追溯到18世紀，見於著作則是在19世紀。高斯在1801年，艾森斯坦在1844—1852年先後把一個線性變換的全部係數作為一個整體，並用一個字母來表示。艾森斯坦還強調乘法次序的重要性。這些工作孕育了矩陣的思想。
矩陣這個詞是西爾維斯特首先使用的(1850)。矩陣的概念直接從行列式的概念而來，它作為表達一個線性方程組的簡單記法而出現。脫離線性變換和行列式，對矩陣本身作專門研究，開始於英國數學家凱萊。1855年以後，凱萊發表了一系列研究矩陣理論的文章。他引進了關於矩陣的一些定義，如矩陣相等、零矩陣、單位矩陣、矩陣的和、矩陣的乘積、矩陣的逆、轉置矩陣、對稱矩陣等，並藉助於行列式定義了方陣的的特徵方程和特徵根。在1858年的文章中，凱萊證明了一個重要結果：任何方陣都滿足它的特徵方程。這個結果現被稱為凱萊—哈密頓定理。由於凱萊的奠基性工作，一般認為他是矩陣理論的創始人。
法國數學家埃爾米特、德國數學家克萊布希等研究了一些特殊矩陣的特徵根的性質。德國數學家弗羅貝尼烏斯對矩陣理論做了進一步的工作。他探求矩陣的最小多項式，並指出最小多項式是唯一的(後來亨澤爾證明了這個結論);引進矩陣的秩的概念;整理了由西爾維斯特和外爾斯特拉斯提出的不變因子和初等因子的理論;給出凱萊—哈密頓定理的一般性證明;定義了正交矩陣並研究其性質。若爾當利用相似矩陣和特徵方程的概念，證明了矩陣經過變換可相似於一個“標準型”，即現在所謂的若爾當標準型。在若爾當工作的基礎上，弗羅貝尼烏斯討論了契約矩陣與契約變換。弗羅貝尼烏斯關於矩陣理論的工作於1877年發表在《克雷爾雜誌》上。至此，矩陣論的經典內容已建立起來。
1892年，美國數學家梅勒茨引進矩陣的超越函式的概念，並把它寫成矩陣的冪級數的形式。凱萊把超複數視為矩陣的思想在19世紀末至20世紀初得到發展，與此相關形成矩陣不變數的理論。20世紀初由於積分方程的發展開始了對無窮矩陣的研究。由於近代物理的需要還開展了元素屬於抽象域的矩陣的工作。矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣等矩陣的現代理論也逐步發展起來。矩陣及其理論現已廣泛地套用於現代科技的各個領域。
