積分因子

對於微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0，如果存在連續可微函式μ(x,y)，可以使μMdx+μNdy=0成為恰當方程，即μMdx+μNdy=du，則稱μ為該微分方程的積分因子。求解積分因子的常用方法主要由觀察法、積分法和分組法。

基本介紹

• 中文名：積分因子
• 外文名：integrating factor
• 套用：將非恰當方程化為恰當方程

定義

由於恰當方程可以比較方便的求出通解，於是人們想到能否將一非恰當方程化為恰當方程呢？由此就引入了積分因子的概念。

如果存在連續可微函式 ，使得

為一恰當方程，即存在函式 ，使

則稱 為方程 的積分因子。這時 即為方程 的通解，因而也就是方程 的通解。

存在性

可以證明，只要方程 有解存在，則必有積分因子存在，且不是唯一的。

事實上，設該方程有通解 ，對其微分可得

與原方程 對比可得

從而， 。由此可見， 即為方程的積分因子。

例如， 可以取 中的任何一個函式作為積分因子。

確定方法

為方程的積分因子的充分必要條件為

或

對於此一階線性偏微分方程，在一般情況下，要據此求出 的表達式是比較困難的。以下僅對某些特殊情況介紹幾種常用的求積分因子的簡便方法。

觀察法

對於某些比較簡單的微分方程，藉助常用的全微分公式，可以直接寫出方程的積分因子。如上面所說的 可以取 中的任何一個函式作為積分因子。

積分法

設方程 存在積分因子 ，則方程 變為 ，因為 與 無關，所以方程有解的充要條件是： 僅與 有關。設 ，則

同理方程 有形如 的積分因子的充要條件是：

從而

分組法

如果 是方程的一個積分因子，使得 ，則 也是該方程的一個積分因子，其中 是 的任一可微非零函式。

利用上述定理使分組求積分因子的方法一般化。如果方程左端可以分成兩組，即

設兩組分別有積分因子 使得

則 是第一組的積分因子， 是第二組的積分因子。如果能找到適當的可微函式 ，使得 ，那么 就是所找的積分因子。