物理學中的數學方法

《物理學中的數學方法》是由王懷玉編著，科學出版社2013年出版的圖書。

基本介紹

• 書名：物理學中的數學方法
• 作者：王懷玉
• 頁數：610
• 出版社：科學出版社
• 出版時間：2013年
• 開本：16

內容簡介

本書介紹了物理學科研工作所需的數學知識和相應的數學基礎，包括10章內容，分別是變分法、希爾伯特空間、二階線性常微分方程、貝塞爾函式、狄拉克δ函式、格林函式、範數、積分方程、數論在物理逆問題中的套用和任意維空間的基本方程。本書內容與本科階段已經學過的數理方法銜接，並儘可能地反映最新的科研成果。本書對概念的說明與公式的推導力求詳盡全面，內容敘述清楚，便於讀者學習。各章末尾大量的習題有助於讀者鞏固和擴展正文中學到的知識內容。
本書可作為大學物理系和理工科各專業的本科高年級學生和研究生的教材或參考書，也可供高校教師和科研人員參考。

圖書目錄

前言

第1章 變分法

1.1 泛函和泛函的極值問題

1.1.1 泛函的概念

1.1.2 泛函的極值問題

1.2 泛函的變分和最簡單情形的歐拉方程

1.2.1 泛函的變分

1.2.2 最簡單情形的歐拉方程

1.3 多個函式和多個自變數的情形

1.3.1 多個函式

1.3.2 多個自變數

1.4 泛函的條件極值問題

1.4.1 等周問題

1.4.2 測地線問題

1.5 自然邊界條件

1.6 變分原理

1.6.1 經典力學的變分原理

1.6.2 量子力學的變分原理

1.7 變分法在物理學中的套用

1.7.1 在經典物理中的套用

1.7.2 在量子力學中的套用

習題

附錄1A 函式的極值問題

參考文獻

第2章 希爾伯特空間

2.1 線性空間、內積空間和希爾伯特空間

2.1.1 線性空間

2.1.2 內積空間

2.1.3 希爾伯特空間

2.2 內積空間中的運算元

2.2.1 運算元與伴隨運算元

2.2.2 自伴運算元

2.2.3 非齊次線性代數方程組有解的擇一定理

2.3 完備的正交歸一函式集合

2.3.1 收斂的類別

2.3.2 函式集合的完備性

2.3.3 N維數域空間和希爾伯特函式空間

2.3.4 正交多項式

2.4 魏爾斯特拉斯定理與多項式逼近

2.4.1 魏爾斯特拉斯定理

2.4.2 多項式逼近

習題

附錄2A 數e不是一個有理數的證明

參考文獻

第3章 二階線性常微分方程

3.1 二階線性常微分方程的一般理論

3.1.1 解的存在唯一性定理

3.1.2 齊次方程解的結構

3.1.3 非齊次方程的解

3.2 施圖姆-劉維爾型方程的特徵值問題

3.2.1 施圖姆-劉維爾型方程的形式

3.2.2 施圖姆-劉維爾方程的邊界條件

3.2.3 施圖姆-劉維爾特徵值問題

3.2.4 施圖姆-劉維爾特徵值問題舉例

3.3 施圖姆-劉維爾型方程的多項式解集

3.3.1 核函式和權函式的可能的形式

3.3.2 多項式的級數表達式和微商表示

3.3.3 母函式關係

3.3.4 正交的施圖姆-劉維爾多項式解集的完備性定理

3.3.5 正交多項式解集在數值積分中的套用

3.4 與多項式的施圖姆-劉維爾系統有關的方程和函式

3.4.1 拉蓋爾函式

3.4.2 勒讓德函式

3.4.3 切比雪夫函式

3.4.4 厄米函式

3.5 切比雪夫雙曲函式

3.5.1 微分方程的建立

3.5.2 微分方程的求解

3.6 二階常微分方程的複變函數理論

3.6.1 齊次線性方程組的解

3.6.2 二階常微分方程

3.7 非自伴的二階常微分方程

3.7.1 常微分方程的伴隨方程

3.7.2 施圖姆-劉維爾運算元

3.7.3 非自伴二階常微分方程的完備集

3.8 非齊次方程有解的條件

習題

附錄3A 初值問題(3.1.4)的解的存在唯一性的證明

附錄3B 二重求和中變數的代換

附錄3C 關於施圖姆-劉維爾理論向狄拉克型方程的推廣

參考文獻

第4章 貝塞爾函式

4.1 貝塞爾方程

4.1.1 貝塞爾方程及其解

4.1.2 第一類和第二類貝塞爾函式

4.2 貝塞爾函式的基本性質

4.2.1 貝塞爾函式的遞推公式

4.2.2 貝塞爾函式的漸近式

4.2.3 貝塞爾函式的零點

4.2.4 朗斯基行列式

4.3 整數階貝塞爾函式

4.3.1 奇偶性和特殊點的值

4.3.2 整數階貝塞爾函式的母函式

4.4 半奇數階貝塞爾函式

4.5 第三類貝塞爾函式和球貝塞爾函式

4.5.1 第三類貝塞爾函式

4.5.2 球貝塞爾函式

4.6 虛變數(或變形)貝塞爾函式

4.6.1 第一類和第二類變形的貝塞爾函式

4.6.2 整數階變形貝塞爾函式

4.6.3 半奇數階變形貝塞爾函式

4.7 變數為實數的貝塞爾函式

4.7.1 貝塞爾方程的特徵值問題

4.7.2 特徵函式族的性質

4.7.3 球貝塞爾方程的特徵值問題

習題

附錄4A г(z)函式的導數與ψ(z)函式

附錄4B 第二類貝塞爾函式表達式

參考文獻

第5章 狄拉克δ函式

5.1 δ函式的定義與性質

5.1.1 δ函式的定義

5.1.2 δ函式是一個廣義函式

5.1.3 δ函式的傅立葉變換和拉普拉斯變換

5.1.4 廣義函式的導數和積分

5.1.5 δ函式中的定值是個複數的情況

5.2 δ函式視為普通函式的弱收斂極限

5.2.1 普通函式的弱收斂的幾種形式

5.2.2 證明式(5.2.7a)的弱收斂極限是δ函式

5.2.3 證明式(5.2.9b)的弱收斂極限是δ函式

5.2.4 證明式(5.2.11)的弱收斂極限是δ函式

5.2.5 套用舉例

5.3 多維空間中的δ函式

5.3.1 直角坐標系

5.3.2 直角坐標繫到曲線坐標系的變換

5.4 δ函式的廣義傅立葉展開

習題

參考文獻

第6章 格林函式

6.1 格林函式的基本理論

6.1.1 格林函式的定義

6.1.2 格林函式的作用和性質

6.1.3 格林函式的求解方法

6.1.4 格林函式的物理意義

6.2 拉普拉斯運算元的基本解

6.2.1 三維情況

6.2.2 二維情況

6.2.3 一維情況

6.3 阻尼振子的格林函式

6.3.1 齊次方程的解

6.3.2 求解格林函式

6.3.3 方程的通解

6.3.4 無阻尼的情況

6.3.5 邊界條件對格林函式的影響

6.4 二階常微分方程的格林函式

6.4.1 格林函式的對稱性

6.4.2 二階微分方程邊值問題的解

6.4.3 廣義格林函式

6.4.4 求解二階微分方程邊值問題的實例

6.5 高維空間的格林函式

6.5.1 二階微分方程與格林函式

6.5.2 二維格林函式求解實例

6.5.3 三維格林函式求解實例

6.5.4 光的小孔衍射

6.5.5 三維空間中粒子散射的問題

6.6 鏡像法求解格林函式

6.6.1 鏡像法的基本理論

6.6.2 二維空間實例

6.6.3 三維空間實例

6.7 一階微分方程的格林函式

6.7.1 非齊次方程邊值問題

6.7.2 齊次方程邊值問題

6.7.3 非齊次方程與格林函式

6.7.4 邊值問題的通解

6.8 非自伴微分方程的格林函式

6.8.1 伴隨格林函式

6.8.2 非齊次微分方程的解

習題

參考文獻

第7章 範數

7.1 巴拿赫空間

7.1.1 巴拿赫空間

7.1.2 赫爾德不等式

7.1.3 閔可夫斯基不等式

7.2 向量範數

7.2.1 向量範數

7.2.2 向量範數的等價性

7.3 矩陣範數

7.3.1 矩陣範數

7.3.2 矩陣的譜範數和譜半徑

7.3.3 矩陣測度

7.4 運算元範數

7.4.1 運算元的範數

7.4.2 伴隨運算元

7.4.3 投影運算元

7.5 全連續運算元

7.5.1 線性積分變換用有限秩線性積分變換逼近

7.5.2 全連續運算元

習題

參考文獻

第8章 積分方程

8.1 積分方程的基礎理論

8.1.1 積分方程的定義和分類

8.1.2 積分方程與微分方程的關係

8.1.3 關於齊次積分方程的理論

8.2 線性積分方程的疊代技術

8.2.1 弗雷德霍姆線性積分方程

8.2.2 沃爾泰拉線性積分方程

8.3 非線性方程的疊代技術

8.3.1 疊代步驟

8.3.2 利普希茨條件

8.3.3 利用收縮的概念

8.3.4 彈簧的非諧振動

8.4 退化核的弗雷德霍姆線性積分方程

8.4.1 可分核

8.4.2 有限秩核

8.4.3 核按特徵系的展開

8.5 卷積型積分方程的求解

8.5.1 弗雷德霍姆卷積型積分方程

8.5.2 沃爾泰拉卷積型積分方程

8.6 多項式類型的積分方程

8.6.1 只含多項式的弗雷德霍姆積分方程的解法

8.6.2 母函式法

習題

參考文獻

第9章 數論在物理逆問題中的套用

9.1 陳-莫比烏斯變換

9.1.1 引言

9.1.2 莫比烏斯變換

9.1.3 陳-莫比烏斯變換

9.2 晶體中聲子態密度的逆問題

9.2.1 逆變換公式

9.2.2 低溫近似

9.2.3 高溫近似

9.3 晶體內原子間相互作用勢的逆問題

9.3.1 一維情況

9.3.2 二維情況

9.3.3 三維情況

9.4 加性莫比烏斯變換及其套用

9.4.1 函式的加性莫比烏斯變換及其套用

9.4.2 數列的加性莫比烏斯變換及其套用

9.5 與表面和界面有關的對勢反演問題

9.5.1 孤立原子與半無限大晶體內原子的對勢

9.5.2 晶體表面原子弛豫

9.5.3 界面原子間作用勢的逆問題

習題

附錄9A 黎曼ξ函式的數值

附錄9B 倒易係數的計算

參考文獻

第10章 任意維空間的基本方程

10.1 任意維歐幾里得空間

10.1.1 直角坐標系與球坐標系

10.1.2 梯度、散度和拉普拉斯運算元

10.2 拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程的格林函式

10.2.1 拉普拉斯方程的格林函式

10.2.2 亥姆霍茲方程的格林函式

10.3 有心勢下的徑向方程

10.3.1 高維空間有心勢下的徑向方程

10.3.2 亥姆霍茲方程

10.3.3 無限深球方勢阱

10.3.4 有限深球方勢阱

10.3.5 庫侖勢

10.3.6 諧振子勢

10.3.7 兩項負冪次分子勢

10.3.8 正負冪次分子勢

10.3.9 指數衰減吸引勢

10.3.10 徑向方程具有解析解的條件

10.4 角向方程的解

10.4.1 四維空間

10.4.2 五維空間

10.4.3 N維空間

10.4.4 總角動量的線性無關分量

10.5 贗球坐標系

10.5.1 四維空間贗球坐標系

10.5.2 拉普拉斯方程的解

10.5.3 五維和六維空間

10.6 非歐幾里得空間

10.6.1 度規張量

10.6.2 五維閔可夫斯基空間和四維德西特空間

習題

附錄10A 超幾何方程與超幾何函式

參考文獻

外國人名英漢對照表

索引