改進歐拉法

改進歐拉法是對歐拉算法的改進方法。微分方程的本質特徵是方程中含有導數項，數值解法的第一步就是設法消除其導數值，這個過程稱為離散化。實現離散化的基本途徑是用向前差商來近似代替導數，這就是歐拉算法實現的依據。歐拉(Euler)算法是數值求解中最基本、最簡單的方法，但其求解精度較低，一般不在工程中單獨進行運算。

基本介紹

• 中文名：改進歐拉法
• 歐拉算法：解y(x)在點上的值y(xi)近似值yi
• 歐拉公式：yi+1= yi+h*f(xi ,yi)，
• 歐拉差商：[y(xi+1)-y(xi)]/h
• 誤差：為O(h^2)，

歐拉算法

所謂數值求解，就是求問題的解y(x)在一系列點上的值y(xi)的近似值yi。對於常微分方程：

可以將區間[a,b]分成n段，那么方程在第xi點有y'(xi)=f(xi,y(xi))，再用向前差商近似代替導數則為：(y(xi+1)-y(xi))/h= f(xi,y(xi))，在這裡，h是步長，即相鄰兩個結點間的距離。因此可以根據xi點和yi點的數值計算出yi+1來：

yi+1= yi+h*f(xi ,yi)，i=0,1,2,L

這就是歐拉公式，若初值yi+1是已知的，則可依據上式逐步算出數值解y1,y2,L。

為簡化分析，人們常在yi為準確即yi=y(xi)的前提下估計誤差y(xi+1)-yi+1，這種誤差稱為局部截斷誤差。

如果一種數值方法的局部截斷誤差為O(h^（p+1）)，則稱它的精度是p階的，或稱之為p階方法。歐拉格式的局部截斷誤差為O(h^2)，由此可知歐拉格式僅為一階方法。

歐拉公式

y(xi+1)=yi+h*f(xi,yi)

且xi=x0+i*h (i=0,1,2,…,n-1)

局部截斷誤差是O(h^2)

改進的算法

先用歐拉法求得一個初步的近似值，稱為預報值，然後用它替代梯形法右端的yi+1再直接計算fi+1，得到校正值yi+1，這樣建立的預報-校正系統稱為改進的歐拉格式：

預報值 y~i+1=yi + h*f(xi,yi)

校正值 yi+1 =yi+(h/2)*[f(xi,yi)+f(xi+1,y~i+1)]

它有下列平均化形式：

yp=yi+h*f(xi,yi)

且 yc=yi+h*f(xi+1,yp)

且 yi+1=(yp+yc)/2

它的局部截斷誤差為O(h^3)，可見，改進歐拉格式較歐拉格式提高了精度，其截斷誤差比歐拉格式提高了一階。

註：歐拉法用差商 [y(xi+1)-y(xi)]/h 近似代替y(xi)的導數，局部截斷誤差較大；改進歐拉法先用歐拉法求出預報值，再利用梯形公式求出校正值，局部截斷誤差比歐拉法低了一階，較大程度地提高了計算精度。