拿破崙定理

拿破崙定理

拿破崙定理則是法國著名的軍事家拿破崙·波拿巴已知最早提出的一個幾何定理:“以任意三角形的三條邊為邊,向外構造三個等邊三角形,則這三個等邊三角形的外接圓中心恰為另一個等邊三角形的頂點。”該等邊三角形稱為拿破崙三角形。如果向內(原三角形不需為等邊三角形)作三角形,結論同樣成立。

基本介紹

  • 中文名:拿破崙定理
  • 外文名:Napoleon's Theorem
  • 別稱:拿破崙三角形
  • 提出者拿破崙·波拿巴
  • 提出時間:1795年
  • 套用學科:數學、歐幾里得幾何
  • 適用領域範圍:數學、教學
  • 適用領域範圍:歐式幾何
驗證推導,證明一,證明二,

驗證推導

在△ABC的各邊上向外各作等邊△ABF,等邊△ACD,等邊△BCE。
如何證明:這3個等邊三角形的外接圓共點?
思路1:利用四點共圓來證明三圓共點。這是證明拿破崙定理的基礎。
證明:設等邊△ABF的外接圓和等邊△ACD的外接圓相交於O;連AO、CO、BO。
∴ ∠AFB=∠ADC=60°;
∵ A、F、B、O四點共圓;A、D、C、O四點共圓
∴ ∠AOB=∠AOC=120°;
∴ ∠BOC=120°;
∵ △BCE是等邊三角形
∴ ∠BEC=60°;
∴ B、E、C、O四點共圓
∴ 這3個等邊三角形的外接圓共點。
結論:因為周角等於360°,所以,∠AOB=∠AOC=120°時,∠BOC就等於120°;用四點共圓的性質定理和判定定理來證明三圓共點的問題。
拿破崙定理第三證明圖拿破崙定理第三證明圖
任意三角形的三邊為邊向外作等邊三角形,則這三個等邊三角形的中心的連線是一個等邊三角形。
求證:上面3個等邊三角形的中心M、N、P的連線構成一個等邊三角形?

證明一

思路:利用已有的三個圓和三個四點共圓來證明。
證明:設等邊△ABD的外接圓⊙N,等邊△ACF的外接圓⊙M,等邊△BCE的外接圓⊙P
相交於O;連AO、CO、BO。
∵ A、D、B、O四點共圓;
A、F、C、O四點共圓
B、E、C、O四點共圓
∠AFC=∠ADB=∠BEC=60°;
∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°;
∵ NP、MP、MN是連心線
BO、CO、AO是公共弦
∴ BO⊥NP於X;
CO⊥MP於Y;
AO⊥NM於Z。
∴ X、P、Y、O四點共圓
Y、M、Z、O四點共圓
Z、N、X、O四點共圓
∴ ∠N=∠M=∠P=60°;
即△MNP是等邊三角形

證明二

思路2:證明原三角形幾何中心至外圍三個等邊三角形幾何中心距離相等。
拿破崙定理
左圖中綠色輔助線利用中線特性求其長度,綠色角度值亦可用餘弦定理求出,結合垂角,進一步利用餘弦定理求出兩幾何中心距離,同理可證原幾何中心與另外兩個等邊三角形的幾何中心距離。
費馬點也是證明拿破崙定理的好方法。
右圖即是用費馬點的性質來推導拿破崙定理的證明方法。
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