形心

面的形心就是截面圖形的幾何中心，質心是針對實物體而言的，而形心是針對抽象幾何體而言的，對於密度均勻的實物體，質心和形心重合。

n 維空間中一個對象X的幾何中心或形心是將X分成矩相等的兩部分的所有超平面的交點。非正式地說，它是X中所有點的平均。如果一個物件質量分布平均，形心便是重心。

基本介紹

• 中文名：形心
• 外文名：centroid
• 概念：幾何中心
• 性質：針對抽象幾何體而言的
• 特點：質心和形心重合
• 套用學科：幾何學

定義

如果一個對象具有一致的密度，或者其形狀和密度具有某種對稱性足以確定幾何中心，那么它的幾何中心和質量中心重合，該條件是充分但不是必要的。

有限個點總存在幾何中心，可以通過計算這些點的每個坐標分量的算術平均值得到。這箇中心是空間中一點到這有限個點距離的平方和的惟一最小值點。點集的幾何中心在仿射變換下保持不變。

判斷位置

判斷形心的位置：

當截面具有兩個對稱軸時，二者的交點就是該截面的形心。據此，可以很方便的確定圓形、圓環形、正方形。

形心

的形一個對稱軸的截面，其形心一定在其對稱軸上，具體在對稱軸上的哪一點，則需計算才能確定。我們把均勻平面薄片的重心叫做這平面薄片所占的平面圖形的形心。

性質

一個凸對象的幾何中心總在其內部。一個非凸對象的幾何中心可能在外部，比如一個環或碗的幾何中心不在內部。

三角形的重心與三頂點連線，所形成的六個三角形面積相等。

頂點到重心的距離是中線的 。

重心、外心、垂心、九點圓圓心四點共線。

重心、內心、奈格爾點、類似重心四點共線。

三角形的重心同時也是中點三角形的重心。

在直角座標系中，若頂點的座標分別為 ，則中點的座標為：

三線坐標中、重心的座標為：

三角形的中心

形心是三角形的幾何中心，通常也稱為重心，三角形的三條中線（頂點和對邊的中點的連線）交點，此點即為重心。

四面體的中心

類似三角形的中心的結論對四面體也成立，四面體的幾何中心是所有頂點和相對平面中心的連線的交點。這些線段被中心分成3:1。這個結論能自然推廣到任何 n-維單形。如果單形的頂點集是 ，將這些頂點看成向量，幾何中心位於：

多邊形的中心

一個由N個頂點（x_i, y_i）確定的不自交閉多邊形的中心能如下計算：

記號（ x_N, y_N）與頂點（ x₀, y₀）相同。多邊形的面積為：

多邊形的中心由下式給出：

有限點集中心

給定有限點集 屬於 ，它們的中心定義 C為

。

面積中心

面積中心和質量中心非常類似，面積中心只取決於圖形的幾何形狀。如果物體是均勻的，質量中心將位於面積中心。

對於兩部分組成的圖形，將有如下等式：

是特定部分的面積中心到所選參考系的距離。A是特定部分的面積。

當一個複雜幾何圖形可以分成一些已知的簡單幾何圖形時，先計算各部分的面積中心，然後通過下面一般的公式計算整個圖形的面積中心：

這裡從y-軸到中心的距離是，從x-軸到中心的距離是，中心的坐標是。

錐的中心

圓錐或稜錐的中心位於連線頂點和底的中心的線段上，分比為3:1。

對稱中心

如果中心確定了，那么中心是所有它對稱群的不動點。從而對稱能全部或部分確定中心，取決於對稱的種類。另外可以知道，如果一個對象具有傳遞對稱性，那么它的中心是不確定的或不在內部，因為一個傳遞變換群沒有不動點。

地理中心

地理學中，地球表面一個區域的幾何中心也稱為地理中心。