強運算元拓撲

強運算元拓撲(strong operator topology)是運算元空間中的又一種拓撲。從賦范線性空間X到賦范線性空間Y的有界線性運算元全體所成的賦范線性空間B(X→Y)中由半范族{px(A)=‖Ax‖|x∈X}確定的局部凸拓撲稱為B(X→Y)的強運算元拓撲，它的零元鄰域基由形如{A|‖Axi‖<1，xi∈X，i=1，2，…，n}的子集組成。

基本介紹

• 中文名：強運算元拓撲
• 外文名：strong operator topology
• 領域：數學
• 空間：運算元空間
• 性質：拓撲
• 相對概念：弱運算元拓撲

概念

強運算元拓撲是運算元空間中的又一種拓撲。從賦范線性空間X到賦范線性空間Y的有界線性運算元全體所成的賦范線性空間B(X→Y)中由半范族{p_x(A)=‖Ax‖|x∈X}確定的局部凸拓撲稱為B(X→Y)的強運算元拓撲，它的零元鄰域基由形如{A|‖Ax_i‖<1，x_i∈X，i=1，2，…，n}的子集組成。運算元定向列{A_α}強收斂於運算元A，記為：

其充分必要條件是對任何x∈X，有：

強運算元拓撲比弱運算元拓撲強，又比運算元範數拓撲弱。

拓撲

拓撲是集合上的一種結構。設T為非空集X的子集族。若T滿足以下條件：

1.X與空集都屬於T;

2.T中任意兩個成員的交屬於T;

3.T中任意多個成員的並屬於T;

則T稱為X上的一個拓撲.具有拓撲T的集合X稱為拓撲空間，記為(X，T).

設T₁與T₂為集合X上的兩個拓撲。若有關係T₁T₂，則稱T₁粗於T₂，或T₂細於T₁。當X上的兩個拓撲相互之間沒有包含關係時，則稱它們是不可比較的。在集合X上，離散拓撲是最細的拓撲，平凡拓撲是最粗的拓撲。

局部凸空間

最重要的一類拓撲線性空間。設E是拓撲線性空間，如果E中存在由均衡凸集組成的零元的鄰域基，就稱E是局部凸的拓撲線性空間，簡稱局部凸空間，而E的拓撲稱為局部凸拓撲。零元的每個均衡凸鄰域V的閔科夫斯基泛函p_V(x)是E上的連續半範數。反之，設{p_λ|λ∈Λ}是E上一族半範數，E上使p_λ(λ∈Λ)均為連續的最弱拓撲是局部凸的，且零元的均衡凸鄰域基由下面形式的集組成：

這個局部凸拓撲稱為由半範數族{p_λ}確定的局部凸拓撲。如果對任何x∈E(x≠0)，都存在λ∈Λ使p_λ(x)≠0，則{p_λ|λ∈Λ}確定的局部凸拓撲是豪斯多夫拓撲。通常局部凸空間都指豪斯多夫局部凸空間。E中的定向半序點列{x_α}收斂於x∈E等價於對每個λ∈Λ，p_λ(x_α-x)→0。設E₁是由另一半範數族{q_β}確定的局部凸空間，則使線性映射T：E→E₁連續的充分必要條件是，對任意的q_β，總存在有限個λ₁，λ₂，…，λ_n∈Λ和常數c，使不等式：

對一切x∈E成立。

局部凸空間的完備化空間也是局部凸的。根據哈恩-巴拿赫泛函延拓定理，局部凸空間上存在足夠多的非零連續線性泛函。正因為如此，局部凸空間理論成為拓撲線性空間理論中最重要的部分。

關於局部凸空間理論的發展大約是始於迪厄多內(Dieudonné，J.)和施瓦茲(Schwarz，L.)在1949年的工作，它的一個主要推動力是分布理論，即廣義函式理論。

賦范線性空間

賦范線性空間是一類可以引進“長度”概念的線性空間。設X是線性空間，X上滿足下列條件的實值函式p(·)稱為X上的範數：

1.p(x)≥0(x∈X);p(x)=0⇔x=0.

2.p(αx)=|α|p(x)(α為數，x∈X).

3.p(x+y)≤p(x)+p(y)(x，y∈X).

對x∈X，p(x)稱為x的範數，通常記為‖x‖.賦有範數的線性空間(X，‖·‖)稱為賦范線性空間，簡稱賦范空間。

弱運算元空間

弱運算元空間是運算元空間中的一種局部凸拓撲。設X，Y為賦范線性空間，B(X→Y)為X到Y的有界線性運算元全體所成的賦范線性空間。B(X→Y)中由半範數族{P_x，f(A)=|f(Ax)||x∈X，f∈Y*}確定的局部凸拓撲稱為弱運算元拓撲，它的零元鄰域基由形如{A||f_i(Ax_i)|<1，f_i∈Y*，x_i∈X，i=1，2，…，n}的集組成.運算元定向列{A_α}弱收斂於運算元A，記為：

其充分必要條件是對每個x∈X及每個f∈Y，都有：

成立。