幾何數論

幾何數論又稱數的幾何，套用幾何方法研究某些數論問題的一個數論分支。在數論中，幾何數論研究凸體和在n維空間整數點向量問題。幾何數論於1910由赫爾曼·閔可夫斯基創立。幾何數論和數學其它領域有密切的關係，尤其研究在函式分析和丟番圖逼近中，對有理數向無理數逼近問題

基本介紹

• 中文名：幾何數論
• 外文名：geometry of numbers
• 又稱：數的幾何
• 性質：數論分支
• 創立人：赫爾曼·閔可夫斯基
• 創立時間：1910年

簡介

幾何數論是由德國數學家、物理學家閔可夫斯基等人開創和奠基的。主要在於透過幾何觀點研究整數（在此即格點）的分布情形。幾何數論研究的基本對象是“空間格網”。在給定的直角坐標系上，坐標全是整數的點，叫做整點；全部整點構成的組就叫做空間格網。空間格網對幾何學和結晶學有著重大的意義。最著名的定理為閔可夫斯基不等式（Minkowski 定理）。由於幾何數論涉及的問題比較複雜，必須具有相當的數學基礎才可以深入研究。

歷史

17～18世紀間，J.-L.拉格朗日和C.F.高斯等就已開始以幾何觀點研究二次型的算術性質。

1891年，閔科夫斯基發表了關於幾何數論的第一篇論文，並於1896年出版了《數的幾何學》一書。從此，數的幾何成為數論的一個獨立分支。

近現代研究

在1930年至1960年的很多數論學家取得了很多成果（包括路易·莫德爾，哈羅德·達文波特和卡爾·路德維希·西格爾）。近年來，Lenstra，奧比昂，巴爾維諾克對組合理論的擴展對一些凸體的格數量進行了列舉。

施密特子空間定理；

在幾何數論的子空間定理，由沃爾夫岡·施密特在1972年證明；

設n是正整數，如果n個n維線性型L₁,...,L_n都具有代數係數，並且是線性無關的，那么對於任何給定的實數ε> 0，所有滿足條件: 的n維非零整數點x都在有限多個Q的真子空間內。

重要結論

閔可夫斯基定理，有時也被稱為閔可夫斯基第一定理：

假設Γ是在n維歐氏空間R的格和K是中心對稱凸體， ，則K包含Γ非零的向量。

閔可夫斯基第二定理，是他的第一定理加強。定義K數字λ最大下界，為 λ_k，稱為連續最低。

則λK在Γ中ķ線性無關，則有：

影響

始於閔可夫斯基的幾何數論函式分析上產生深遠的影響。閔可夫斯基證明，對稱凸體誘導有限維向量空間的範數。 ，閔可夫斯基定理由柯爾莫哥洛夫，推廣到拓撲向量空間。柯爾莫哥洛夫指封閉的，有界對稱凸集生成Banach空間拓撲。當前Kalton et alia. Gardner對星形集和非凸集取得了一些成果。

數的幾何是研究丟番圖逼近、代數數論的重要工具。