下確界(最大下界)

下確界

最大下界一般指本詞條

“下確界”是數學分析中的基本概念,它是在“下界”的基礎上定義的。任給一數集E,我們稱E的最大下界為E的下確界,記為infE. 顯然,E中每個元素均大於或等於infE.

基本介紹

  • 中文名:下確界
  • 外文名:infimum
  • 對偶概念:上確界
  • 重要定理:確界存在定理
  • 概述:最大的下界
  • 套用領域序理論  數學分析
一、定義,1. 下界,2. 下確界,二、常用結論,1. 確界的唯一性定理,2. 確界存在定理,3. 單調有界數列必有極限,

一、定義

1. 下界

設給定一數集E,若存在m
R,使得對於
x
E,都有x
m,則稱m是集合E的一個下界。
例:若E=
,不難驗證只要m
,m就是集合E的一個下界。

2. 下確界

一個數集可以由有限個數組成,也可以由無窮多個數組成,前者稱為有限(數)集,後者稱為無限(數)集。任何有限數集都有一個最小數,但對於無限數集來說就不一定有最小數了。例如,由一切x
1所組成的數集沒有最小數;又如數集
(
)有最小數1/2.
我們知道,有界數集有無窮多個下界。因而,對於有有界數集來說,如果它有最小數,那么這個最小數也是它的下界中的一個,並且比這個最小數大的任何數都不是它的下界,這時,這個最小數自然就是它的最大的下界。
但在上面的例子中已經看到,對一般無限數集來講不一定有最小數。然而,對於某些無限數集來說,最大的下界確實存在,這裡暫時撇開最大下界的存在性,而對一般數集的最大下界給予確切的定義。
設給定一數集E。若存在這樣一個數
,適合以下兩個條件:
(i)集E中的一切數
(即
是E的一個下界);
(ii)對任意給定的正數
,至少存在一個數
,使得
(即比
再大一點就不是下界), 則
叫做E的下確界,記為
. 這裡inf是infimum的縮寫。
第一個條件說明
是E的下界之一,而第二個條件說明凡大於
的任何數都不是E的下界。也就是說
是E的最大下界
注1 為方便起見,若E無下界,則記
.
注2 上面的條件(ii)等價於:如果
是E的一個下界,則必有
.

二、常用結論

1. 確界的唯一性定理

定理 設數集有上(下)確界,則這上(下)確界是唯一的。
證明:採用反證法。假設數集E有兩個不同下確界
),顯然,
均為E的下界,由上面注2可知
,故
. 與假設相矛盾!證畢。

2. 確界存在定理

定理 有上界的非空數集必有上確界,有下界的非空數集必有下確界。
證明:用戴德金分割定理證明。
戴德金定理:對實數集R的任意一個滿足不空、不漏、不亂的劃分A和B,都存在唯一的一個分點
滿足
記給定非空集為X。取定B為X的所有上界的集合,A=R\B. 下證A、B為不空、不漏、不亂的劃分。
不空:由於X非空,可取
,易知x-1不可能為X的上界,故A非空。B非空給定;
不漏:由A=R\B知
不亂:設
,則由
不是X的上界,即
,但又由
是X的上界知
. 綜上,
,矛盾。不亂得證。
故存在唯一的一個分點
滿足
下證分點為上確界,即
.
若不然,
不成立,則
,但此時就有
,由
,與
是劃分A和B的分點相矛盾。故
.
下確界同理。證畢。

3. 單調有界數列必有極限

定理 單調有界數列必有極限。
證明:我們只就單調減少的有界數列予以證明。設
有界,則必有下確界
. 再設
是單調減少的,現在證明
恰好就是
的極限,即
.
由下確界的定義有(i)
;(ii)對任意給定的
,在
中至少有一數
,有
. 但由於
是單調減少數列,因此當
時,有
,從而
. 也就是說,當
時,有
所以
這裡不僅證明了單調有界數列的極限存在,而且也證明了如果它是單調減少的,則極限就是它的下確界。同樣可證單調增加有界數列的極限存在,並且極限就是它的上確界。

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