幾何布朗運動

幾何布朗運動(GBM) (也叫做指數布朗運動) 是連續時間情況下的隨機過程，其中隨機變數的對數遵循布朗運動. 幾何布朗運動在金融數學中有所套用，用來在布萊克-舒爾斯定價模型中模仿股票價格。

基本介紹

• 中文名：幾何布朗運動
• 外文名：GBM
• 別稱：指數布朗運動
• 套用學科：金融數學

專業定義

A 隨機過程S_t在滿足以下隨機微分方程(SDE)的情況下被認為遵循幾何布朗運動：

• dSt=μStdt+σStdWt
  

這裡Wt是一個維納過程,或者說是布朗運動，而μ('漂移百分比') 和σ('波動百分比')則是常量。

運動特性

給定初始值S₀，根據伊藤積分，上面的 SDE（【數】隨機微分方程式）

有如下解:

• St=S0exp((μ−σ2/2)t+σWt),
  

對於任意值 t，這是一個對數常態分配隨機變數，其期望值和方差分別是

• E(St)=S0eμt,
  
• Var(St)=S20e2μt(eσ2t−1),
  

也就是說S_t的機率密度函式是:

• fSt(s;μ,σ,t)=12π−−√1sσt√exp⎛⎝⎜⎜−(lns−lnS0−(μ−12σ2)t)22σ2t⎞⎠⎟⎟.
  

根據伊藤引理，這個解是正確的。

比如，考慮隨機過程 log(S_t). 這是一個有趣的過程，因為在布萊克-舒爾斯模型中這和股票價格的對數回報率相關。對f(S) = log(S)套用伊藤引理，得到

• dlog(S)=f′(S)dS+12f′′(S)S2σ2dt=1S(σSdWt+μSdt)−12σ2dt=σdWt+(μ−σ2/2)dt.
  

於是Elog(St)=log(S0)+(μ−σ2/2)t.

這個結果還有另一種方法獲得：applying the logarithm to the explicit solution of GBM:

• log(St)=log(S0exp((μ−σ22)t+σWt))=log(S0)+(μ−σ22)t+σWt.
  

取期望值，獲得和上面同樣的結果:Elog(St)=log(S0)+(μ−σ2/2)t.

運動套用

在金融中

主條目：布萊克-舒爾斯模型

幾何布朗運動在布萊克-舒爾斯定價模型被用來定性股票價格，因而也是最常用的描述股票價格的模型。

使用幾何布朗運動來描述股票價格的理由:

• 幾何布朗運動的期望與隨機過程的價格（股票價格）是獨立的, 這與我們對現實市場的期望是相符的。
  
• 幾何布朗運動過程只考慮為正值的價格, 就像真實的股票價格。
  
• 幾何布朗運動過程與我們在股票市場觀察到的價格軌跡呈現了同樣的“roughness” 。
  
• 幾何布朗運動過程計算相對簡單。.
  

然而，幾何布朗運動並不完全現實，尤其存在一下缺陷:

• 在真實股票價格中波動隨時間變化 (possiblystochastically), 但是在幾何布朗運動中, 波動是不隨時間變化的。
  
• 在真實股票價格中, 收益通常不服從常態分配 (真實股票收益具有更高的峰度和厚尾('fatter tails'), 代表了有可能形成更大的價格波動).