求常微分方程滿足給定邊界條件的解的問題。亦即，設常微分方程為 \n\n\n對區間I上的點α1，α2，…,αk及值y(αi)，y┡(αi),…,y(n-1)(αi)(i=1,2,…,k,k>1)，給定了一些條件，求此方程在 I上的滿足這些條件的解的問題。
基本介紹
- 中文名：常微分方程邊值問題
- 作用：解決給定邊界條件的解的問題
- 問題：求方程在I上的滿足條件的解
- φ1，φ2：方程的線性無關解組
正文,
正文
求常微分方程滿足給定邊界條件的解的問題。亦即，設常微分方程為對區間I上的點α1，α2，…,αk及值y(αi)，y┡(αi),…,y(n-1)(αi)(i=1,2,…,k,k>1)，給定了一些條件,求此方程在I上的滿足這些條件的解的問題。這些條件稱為邊界條件，諸αi及y(αi)、y┡(αi)、…、y(n-1)(αi) 稱為邊值或邊界值。當k=2，α1、α2是區間I的端點時,稱為兩點邊值問題。邊值問題的提出和發展，與流體力學、材料力學、波動力學以及核物理學等密切相關；並且在現代控制理論等學科中有重要套用。因為常微分方程可以解析求解的類型甚少，所以求邊值問題的解也是困難的。為了適應實際問題的需求，不得不採用近似解法，這樣，首先需要回答：邊值問題的解是否存在？是否惟一？這就是邊值問題的基本論題。
在有限區間上的邊值問題 兩點邊值問題 以二階常微分方程為例。求二階常微分方程
在有限區間上的邊值問題 兩點邊值問題 以二階常微分方程為例。求二階常微分方程
(1)
滿足邊界條件的解。式中α、b為區間的端點,?:【α,b】×R2→R是連續函式，R=(-,)；αs,α▂,βs,β▂及γs(s=1,2)是給定的常數。特別當γs=0 (s=1，2)時，(2)稱為齊次邊界條件。(2)的特例有：方程(1)與(2┡)、(1)與(2″)及(1)與(2冺),所構成的邊值問題分別稱為第一邊值問題、第二邊值問題和第三邊值問題。
例如,懸鏈線（圖1）之形狀是由第一邊值問題所確定。式中ρ為懸鏈線密度，g為重力加速度，T為懸鏈線最低點張力。又如，一端固定的細長懸樑（圖 2）彎曲的傾斜角φ（s）是由第二邊值問題Bφ″(s)-Pcosφ(s) = 0，φ(0)=0,φ┡（l）=0，所確定。其中B為梁的剛性係數，P為自由端的鉛直負載。
關於邊值問題解的存在和惟一性問題，對線性方程，在理論上是容易解決的。考慮第一邊值問題
例如,懸鏈線（圖1）之形狀是由第一邊值問題所確定。式中ρ為懸鏈線密度，g為重力加速度，T為懸鏈線最低點張力。又如，一端固定的細長懸樑（圖 2）彎曲的傾斜角φ（s）是由第二邊值問題Bφ″(s)-Pcosφ(s) = 0，φ(0)=0,φ┡（l）=0，所確定。其中B為梁的剛性係數，P為自由端的鉛直負載。
關於邊值問題解的存在和惟一性問題，對線性方程，在理論上是容易解決的。考慮第一邊值問題
(3)
與(2┡)，其中p、q及r是【α,b】上的連續函式,設⑶的通解
(4)
式中y1、y2是(3)對應的齊次方程的基本解組；Y是(3)的特解；c1、c2是任意常數、為求邊值問題(3)與(2┡)的解,只要將(4)代入(2┡)來確定c1、c2。易知,若且唯若y1(α)y2(b)-y1(b)y2(α)≠0時,才可確定惟一的一組с1、c2,代入(4)便得所求的解。然而,對非線性方程,上述途徑是行不通的。例如，邊值問題(1)與(2┡)，（1）滿足y(α)=γ1的解有無窮多個，它們依賴於y┡(α)=δ不同的取值。但是在這些解中不一定存在滿足y（b）=γ2的解。為了保證存在這樣的δ，使有解滿足y(b)=γ2，就必須對(1)加適當的限制,即要建立解的存在條件。一個簡單的存在條件是：“若?為連續有界函式，則邊值問題(1)與(2┡)存在解。”為保證邊值問題最多有一個解，還必須建立解的惟一性條件。關於邊值問題解的存在和惟一性問題的研究，在20世紀出現了大量文獻，至今仍不斷發表新的研究成果。並且將此問題擴展到泛函微分方程和抽象空間微分方程。研究此問題所採用的方法也是多樣的。最初多用皮卡疊代法及分析方法；50年代以來發展且採用上、下解方法，瓦熱維斯基拓撲方法，李亞普諾夫函式法等。拓撲度理論中不動點定理的發展，也給近代研究提供了重要工具。
多點邊值問題 G.桑索內等早在30年代就提出多點邊值問題，但工作很少。60年代以來才被人們重視，並且出現較多的文獻，其中多數是研究以下三點邊值問題解的存在和惟一性問題： 多點邊值問題的論題、結果及研究方法，多是來自兩點邊值問題的拓廣。
在無窮區間上的邊值問題 在【0,)上的邊值問題即求方程(1)滿足邊界條件
多點邊值問題 G.桑索內等早在30年代就提出多點邊值問題，但工作很少。60年代以來才被人們重視，並且出現較多的文獻，其中多數是研究以下三點邊值問題解的存在和惟一性問題： 多點邊值問題的論題、結果及研究方法，多是來自兩點邊值問題的拓廣。
在無窮區間上的邊值問題 在【0,)上的邊值問題即求方程(1)滿足邊界條件
(5)
(6)
的解。也稱極限邊值問題。(1)中的?:【0,)×R2→R是連續函式；α、β、γ、δ 是給定的常數。關於此類邊值問題解的存在和惟一性問題的研究，開始於核物理中的托馬斯-費密方程。隨之，對較廣泛類型的方程(1)及邊界條件y(0)=γ，y()=0的邊值問題進行了探討。在流體力學中提出邊值問題(1)與y┡(α)=γ(α>0)，y()=0。60年代以來進行了較一般性的研究，得到較深刻的結果。解決此類邊值問題的一般步驟是：首先指出(1)與(5)存在有界解；然後證明此有界解滿足(6)。此外,在流體力學邊界層理論中還提出三階方程的邊值問題式中α、β、λ為常數,0≤β在(－∞,∞)上的邊值問題 即求方程(1)滿足邊界條件或的解。(1)中的?:R3→R是連續函式;γ+為兩個給定的常數。此類邊值問題出現在波動力學、火焰傳布理論等。F.H.默里最先對線性方程給出解的存在惟一性的充分條件。對非線性方程，50年代以來也得到了一系列的充分條件。在空氣動力學中還提出了三階方程在(-,)上的邊值問題。所採用的研究方法多是分析法。如：疊代方法和上、下解方法等。此類問題尚有待於進一步深入研究。
特徵值問題 一種特殊的邊值問題，又稱為本徵值問題或固有值問題。它是含有一個參數λ 的齊次邊值問題（微分方程和邊界條件都是齊次的），使齊次邊值問題具有非零解的數λ 稱為特徵值，這些非零解本身稱為特徵函式(或特徵向量)。特徵值問題在聲學、光學、電磁理論、彈性力學、材料力學、流體力學和核物理等學科中，有一系列套用，是量子力學的主要支柱。
最典型的特徵值問題是常型斯圖姆-劉維爾問題(簡稱SL問題)式中(α,b)是有限區間,1/p(x)，q(x),1/r(x)為實的有界連續函式。
對於常型問題,存在可數無窮個特徵值 λ012n,有一個非零解yn(x)（特徵函式）。{yn(x)}組成(α，b)上的完備正交系。對任意函式?(x)，有特徵展開式
特徵值問題 一種特殊的邊值問題，又稱為本徵值問題或固有值問題。它是含有一個參數λ 的齊次邊值問題（微分方程和邊界條件都是齊次的），使齊次邊值問題具有非零解的數λ 稱為特徵值，這些非零解本身稱為特徵函式(或特徵向量)。特徵值問題在聲學、光學、電磁理論、彈性力學、材料力學、流體力學和核物理等學科中，有一系列套用，是量子力學的主要支柱。
最典型的特徵值問題是常型斯圖姆-劉維爾問題(簡稱SL問題)式中(α,b)是有限區間,1/p(x)，q(x),1/r(x)為實的有界連續函式。
對於常型問題,存在可數無窮個特徵值 λ012n,有一個非零解yn(x)（特徵函式）。{yn(x)}組成(α，b)上的完備正交系。對任意函式?(x)，有特徵展開式
(10)
式中?n是?(x)的廣義傅立葉係數, 等於?(x)與yn(x)的乘積沿(α,b)的積分。當?(x)滿足邊界條件,且?┡(x)絕對連續時，展開式一致收斂。當?(x)平方可積時，展開式平方平均收斂。
C.-F.斯圖姆在 1836年證明了一個一般性的比較定理：若恆有g(x)G(x),則在y″+g(x)y=0的任一解的相鄰兩零點間,必有z″+G(x)z=0的任一解的一個零點。由此證明SL問題的第n+1個特徵函式yn(x)在(α,b)中恰有n個零點（振動定理）。比較定理與解的振動性質的研究，近年已被推廣到偏微分方程。
當(α,b)不是有限區間,或者1/p(x),q(x)，1/r(x)中至少有一個不是有界連續時，稱(7)為奇型SL方程,此時邊界條件的提法與展開式的形狀要複雜一些。按照 H.外爾的理論，若對某複數λ，微分方程(7)的任何解都在b點鄰域平方可積,稱b屬於圓款；否則稱b屬於點款。對前者，在b點要提線性邊界條件，對於後者,只提平方可積條件就夠了。若α點為奇點,也有同樣的分類。當區間僅有一端（例如b）為奇點，特徵展開式為
C.-F.斯圖姆在 1836年證明了一個一般性的比較定理：若恆有g(x)G(x),則在y″+g(x)y=0的任一解的相鄰兩零點間,必有z″+G(x)z=0的任一解的一個零點。由此證明SL問題的第n+1個特徵函式yn(x)在(α,b)中恰有n個零點（振動定理）。比較定理與解的振動性質的研究，近年已被推廣到偏微分方程。
當(α,b)不是有限區間,或者1/p(x),q(x)，1/r(x)中至少有一個不是有界連續時，稱(7)為奇型SL方程,此時邊界條件的提法與展開式的形狀要複雜一些。按照 H.外爾的理論，若對某複數λ，微分方程(7)的任何解都在b點鄰域平方可積,稱b屬於圓款；否則稱b屬於點款。對前者，在b點要提線性邊界條件，對於後者,只提平方可積條件就夠了。若α點為奇點,也有同樣的分類。當區間僅有一端（例如b）為奇點，特徵展開式為
(11)
式中
(12)
φ(x,λ)為滿足α處邊界條件的解；ρ(λ)為不減函式, 稱為譜函式。當ρ(λ)為純階梯函式時，展開式成為前述的級數形式(10)，當ρ(λ)沒有跳點，展開式成為廣義傅立葉積分。對於區間兩端都為奇點的情形，展開式為
(13)
(14)
式中【ρij(λ)】稱為譜矩陣；φ1，φ2則是方程的線性無關解組。
奇異情形的上述展開式(14)，概括了古典數學物理中一系列重要公式,如傅立葉積分，傅立葉-貝塞爾展開式，漢克爾展開式，等等。由於實際套用的需要，展開式的各種具體形式與成立條件，一直在被發掘之中。
SL問題的研究已沿著不同方向推廣。在非自共軛情形，特徵函式系已不是正交系，而與共軛問題的特徵函式系組成雙正交系。對於高階奇型微分方程，邊界條件的提法依賴於端點鄰域內線性無關平方可積解的個數。即虧指數。虧指數的可能取值與具體實現問題，近年來受到重視。由於套用上的需要，對各種具體的非線性特徵值問題的研究，一直在進行，但到60年代後期，P.H.拉賓諾維茨運用非線性泛函分析的工具，才發展出一種系統的方法。此外，以多介質為實際背景的多點邊值問題與特徵值問題的研究，也不斷出現。
特徵值反問題屬於另一種格局。在奇異情形有譜函式反問題與散射反問題，這裡要求從各種譜數據或散射數據出發，求微分方程的係數，自50年代И.M.蓋爾范德和Б.М.列維坦等人的開創工作以來,近年來又有一系列的研究。
1967年，C.S.伽德納、J.M.格林、M.D.克魯斯卡爾和R.M.繆雷等四人發現,當薛丁格方程的位勢係數按KdV方程（淺水波方程）演化時，特徵值保持不變，其他散射量以非常簡單的規律演化。以此為突破點，利用特徵值反問題的成果，發展出一種所謂散射反演方法，簡稱IST(Inverse Scattering Transformation)方法，精確地求出一批非線性偏微分方程的孤立子解。這些方程包括在近代技術中有廣泛套用的KdV方程,非線性薛丁格方程，正弦-戈登方程，布森內斯克方程,等等，成為數學物理中引人注目的進展之一。
奇異情形的上述展開式(14)，概括了古典數學物理中一系列重要公式,如傅立葉積分，傅立葉-貝塞爾展開式，漢克爾展開式，等等。由於實際套用的需要，展開式的各種具體形式與成立條件，一直在被發掘之中。
SL問題的研究已沿著不同方向推廣。在非自共軛情形，特徵函式系已不是正交系，而與共軛問題的特徵函式系組成雙正交系。對於高階奇型微分方程，邊界條件的提法依賴於端點鄰域內線性無關平方可積解的個數。即虧指數。虧指數的可能取值與具體實現問題，近年來受到重視。由於套用上的需要，對各種具體的非線性特徵值問題的研究，一直在進行，但到60年代後期，P.H.拉賓諾維茨運用非線性泛函分析的工具，才發展出一種系統的方法。此外，以多介質為實際背景的多點邊值問題與特徵值問題的研究，也不斷出現。
特徵值反問題屬於另一種格局。在奇異情形有譜函式反問題與散射反問題，這裡要求從各種譜數據或散射數據出發，求微分方程的係數，自50年代И.M.蓋爾范德和Б.М.列維坦等人的開創工作以來,近年來又有一系列的研究。
1967年，C.S.伽德納、J.M.格林、M.D.克魯斯卡爾和R.M.繆雷等四人發現,當薛丁格方程的位勢係數按KdV方程（淺水波方程）演化時，特徵值保持不變，其他散射量以非常簡單的規律演化。以此為突破點，利用特徵值反問題的成果，發展出一種所謂散射反演方法，簡稱IST(Inverse Scattering Transformation)方法，精確地求出一批非線性偏微分方程的孤立子解。這些方程包括在近代技術中有廣泛套用的KdV方程,非線性薛丁格方程，正弦-戈登方程，布森內斯克方程,等等，成為數學物理中引人注目的進展之一。
