帶餘除法就是帶有餘數的除法，被除數=除數×商+餘數。帶餘除法主要包括整數的帶餘除法和多項式的帶餘除法。其中，整數的帶餘除法定理為：對於任意的a,b(設a≥b且b≠0)，存在唯一的商q和餘數r 使得a=bq+r。多項式的帶餘除法則與之類似。
基本介紹
- 中文名：帶餘除法
- 外文名： division algorithm
- 學科：數學
- 用於：數論
- 類屬：定理
- 包括：整數帶餘除法和多項式帶餘除法
定理,套用,
定理
整數帶餘除法定理
設
，這裡設
，且
，存在唯一的整數對
，使
，其中
。這個定理稱為整數帶餘除法定理，是初等數論的基礎。
證明：
易得b<0時，與b>0時證明類似，此處為了簡明，僅證明b>0的情況。
【存在性】
令
（[x]表示不超過x的最大整數）
∵
∴
∴
此時，令
則
存在，證畢。
【唯一性】
於是
故
由於
及
都是小於
的非負整數，所以
因為
，則
，
，故
，假設不成立
∴
唯一性證畢
多項式帶餘除法定理
任意非零多項式
除
，其商式餘式一定存在，且餘式是惟一滿足關係式
的零多項式，或次數小於
的一個多項式。
多項式除以多項式
多項式除以多項式一般用豎式進行演算
（1）把被除式、除式按某個字母作降冪排列，並把所缺的項用零補齊；
（2）用被除式的第一項除以除式的第一項，得商式的第一項；
（3）用商式的第一項去乘除式，把積寫在被除式下面（同類項對齊），消去相等項，把不相等的項結合起來；
（4）把減得的差當作新的被除式，再按照上面的方法繼續演算，直到餘式為零或餘式的次數低於除式的次數時為止。被除式=除式×商式+餘式。如果一個多項式除以另一個多項式，餘式為零，就說這個多項式能被另一個多項式整除
例如：計算
解：
所以，
， 其中，商式是
，餘式是
套用
輾轉相除法求最大公因式
顧名思義，輾轉相除法就是反覆進行帶餘除法。它以帶餘除法為基礎，是用以求兩個多項式
、
的最大公因式
的一種計算方法。
它的理論依據是：若
，則有
例如，對於任意的整數
（
），且
，求 的最大公約數
餘數定理
用一次多項式
去除多項式
，即
，其中
例：一個多項式 ，當它能被
除時餘式為 3 ，被
除時餘式為
，則當 被
除時餘式為何?
解：依題意，有：
把
代入(1) 式中，
，得
把餘數定理逆過來用，當用
去除
時，由於 ，有
(3)
將(3)代入(1)中，
即 被 除餘式為
整除性問題
理論依據是：
例：用帶餘除法求當
為何值時，
解：作帶餘除法。
故
且
，解得：
