希爾伯特轉換

概述

在數學和信號處理中，希爾伯特變換（Hilberttransform）是一個對函式u(t)產生定義域相同的函式H(u)(t)的線性運算元。

希爾伯特變換在信號處理中很重要，能夠導出信號u(t)的解析表示。這就意味著將實信號u(t)拓展到複平面，使其滿足柯西－黎曼方程。例如，希爾伯特變換引出了傅立葉分析中給定函式的調和共軛，也就是調和分析。等價地說，它是奇異積分運算元與傅立葉乘子的一個例子。

希爾伯特變換最初只對周期函式（也就是圓上的函式）有定義，在這種情況下它就是與希爾伯特核的卷積。然而更常見的情況下，對於定義在實直線R（上半平面的邊界）上的函式，希爾伯特變換是指與柯西核卷積。希爾伯特變換與帕利-維納定理有著密切的聯繫，帕利-維納定理是將上半平面內的全純函式與實直線上的函式的傅立葉變換相聯繫起來的另一種結果。

希爾伯特變換是以大衛·希爾伯特來命名的，他首先引入了該運算元來解決全純函式的黎曼–希爾伯特問題的一個特殊情況。

歷史

希爾伯特變換產生於希爾伯特1905年關於黎曼有關分析函式的問題，後來被稱為黎曼-希爾伯特（Riemann-Hilbert）問題。希爾伯特的工作主要是關於圓上定義函式的希爾伯特變換。他早些時候與離散希爾伯特變換有關的工作可以追溯到他在哥廷根給的講座。結果後來由HermannWeyl在他的博士論文中發表。舒爾對希爾伯特關於離散希爾伯特變換的結果進行了改進，並將它們擴展到整數情況。在1928年，馬塞爾·里斯斯證明，希爾伯特變換可以被定義u在LP(R)(1≤p<∞)，即希爾伯特變換是有界運算符上LP(R)(1≤p<∞)，和對於圓上的希爾伯特變換以及離散希爾伯特變換（Riesz1928），也有類似的結果。希爾伯特變換是一個激勵的例子安東尼Zygmund和阿爾貝托·卡爾德龍在他們的奇異積分研究。他們的調查在現代諧波分析中發揮了重要作用。希爾伯特變換的各種推廣，如雙線性和三線性希爾伯特變換，仍然是當今研究的活躍領域。