局部極值

設f(x)為定義在n維歐式空間E_n的某一個區域R上的n元實函式，其中X=(x₁，x₂，…，x_n)^T。

對於X*∈R，如果存在某個ε>0，使所有X*的距離小於ε的X∈R(即X∈R且||X-X*||<ε)均滿足不等式f(x)≥f(x*)，則稱X*為f(x)在R上的局部極小點(或相對極小點)，f(x*)為局部極小值。若對於所有X≠X*且與X*的距離小於ε的X∈R，f(x)>f(x*)，則稱X*為f(x)在R上的嚴格局部極小點，f(x*)為嚴格局部極小值。

如將上述不等式反向，即可得到相應的極大點和極大值的定義。

基本介紹

• 中文名：局部極值
• 外文名：local extremum
• 所屬學科：數理科學
• 別名：相對極小點

局部極值的定義

設 是歐氏空間 中某一區域 上的n元實函式，對於 ，若存在某個 ．使得所有 ，滿足 ，則稱 為 在R上的局部極小點(或稱相對極小點)， 為局部極小值。若對於所有 ，且與 的距離小於 的 ，有 ，則稱 為 在R上的嚴格局部極小點， 為嚴格局部極小值。

設 是歐氏空間 中某一區域 上的n元實函式。若點 對於所有 ，都有 ，則稱 為 在 上的全局極小點，稱 為全局極小值。若對於所有 ，且 ，都有 則稱 為 在R上的嚴格全局極小點， 為嚴格全局極小值。

對於極大點與極大值，不難仿上給出相應定義。

極值存在的條件

極值存在的必要條件

定理1：(極值存在的必要條件)設是定義在區域上的實值函式，，是的內點。若在處可微，且在處取得局部極小值．則必有

滿足上式的點通常稱為駐點。駐點是函式在區域內部可能取得極值的點，即在區域內部，極值點必為駐點，但駐點不一定是極值點。

極值存在的充分條件

定理2： (極值存在的充分條件) 設函式是定義在區域上的實值函式，，是R的內點，在R上二次連續可微。若在處滿足，且當點處的海賽矩陣正定(或負定)時，則在處取得嚴格局部極小值(或嚴格局部極大值)。

例題解析

例如，求函式的極值點及極值。

解：令

解得駐點在駐點處，海賽矩陣

是負定的(註：二次函式的海賽矩陣均為常數陣)，所以點(0，0，0)為極大點．其極大值為。