駐點(數學概念)

駐點(數學概念)

本詞條是多義詞,共2個義項
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微積分,駐點(Stationary Point)又稱為平穩點、穩定點或臨界點(Critical Point)是函式的一階導數為零,即在“這一點”,函式的輸出值停止增加或減少。對於一維函式的圖像,駐點的切線平行於x軸。對於二維函式的圖像,駐點的切平面平行於xy平面。值得注意的是,一個函式的駐點不一定是這個函式的極值點(考慮到這一點左右一階導數符號不改變的情況);反過來,在某設定區域內,一個函式的極值點也不一定是這個函式的駐點(考慮到邊界條件),駐點(紅色)與拐點(藍色),這圖像的駐點都是局部極大值或局部極小值。

駐點並不是點,而是和極值點相似,代表著這一點的x值。

因此,駐點不一定是極值點,極值點也不一定是駐點。

基本介紹

  • 中文名:駐點
  • 外文名:Stationary point
  • 別名:critical point
  • 類型:數學概念
  • 特點:函式單調性可能改變
  • 區別:導函式的極值點必為駐點
定義,與拐點區別,與極值點區別,

定義

函式的一階導數為0的點(駐點也稱為穩定點,臨界點)。對於多元函式,駐點是所有一階偏導數都為零的點。

與拐點區別

函式的平穩點的術語可能會與函式圖的給定投影的臨界點相混淆。
“臨界點”更為通用:功能的平穩點對應於平行於x軸的投影的圖形的臨界點。另一方面,平行於y軸的投影圖的關鍵點是導數不被定義的點(更準確地趨向於無窮大)。因此,有些作者將這些預測的關鍵點稱為“關鍵點”。
拐點是導數符號發生變化的點。拐點可以是相對最大值或相對最小值(也稱為局部最小值和最大值)。如果函式是可微分的,那么拐點是一個固定點;然而並不是所有的固定點都是拐點。如果函式是兩次可微分的,則不轉動點的固定點是水平拐點。例如,函式 x3在x = 0處有一個固定點,也是拐點,但不是轉折點。
在駐點處的單調性可能改變,在拐點處凹凸性可能改變。
拐點:使函式凹凸性改變的點。
駐點:一階導數為零。

與極值點區別

可導函式
的極值點必定是它的駐點,但反過來,函式的駐點卻不一定是極值點。
函式
的:
1.極值點不一定是駐點。如y=|x|,在x=0點處不可導,故不是駐點,但是極(小)值點。
2.駐點也不一定是極值點。如y=x3,在x=0處導數為0,是駐點,但沒有極值,故不是極值點。

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