局部最小值

局部極小值：如果存在一個ε>0，使的所有滿足|x-x*| < ε 的x都有f(x*) ≤ f(x) 我們就把點x*對應的函式值f(x*)稱為一個函式f的局部最小值。

基本介紹

• 中文名：局部最小值
• 外文名：Local minimum
• 充分條件：條件1；條件2；條件3
• 多元函式：極值條件

基本概念

定義

如果存在一個 ，使得對於任意滿足 的 都有 ，我們就把點 對應的函式值 稱為函式 的一個局部最小值。從函式圖象上看，局部最小值就像是山谷的底部。

相關概念

局部最大值：

如果存在一個 ，使得對於任意滿足 的 都有 ，我們就把點 對應的函式值 稱為函式 的一個局部最大值。從函式圖象上看，局部最小值就像是山谷的頂部。

全局最大值：

如果 對於任意的 都滿足 ，則稱 為函式 的全局最大值

全局最小值：

如果 對於任意的 都滿足 ，則稱 為函式 的全局最小值

極值存在的充分條件

極值的第一充分條件

設 在點 連續，在某鄰域 內可導。

(1)若當 時， ，當 時， ，則 在點 取得極小值。

(2)若當 時， ，當 時， ，則 在點 取得極大值。

極值的第二充分條件

設 在點 連續，在某鄰域 內一階可導，在 處二階可導，且 。

(1)若 ，則 在 取得極大值

(2)若 ，則 在 取得極小值

極值的第三充分條件

設 在 的某鄰域記憶體在知道 階導函式，在 處 階可導，且 ， ，則

(1)當 為偶數時， 在 處取得極值，且當 時取得極大值， 時取得極小值

(2)當 為奇數時， 在 處不取極值

多元函式

多元函式的極值問題是多元函式微積分的重要套用，這裡二元函式為例進行討論。

定義

設函式 在點 的某鄰域 內有定義。若對於任何點 ，成立不等式

則稱函式 在點 取得極大（極小）值，點 稱為 的極大(極小)值點。極大值、極小值統稱為極值。極大值點、極小值點統稱為極值點。

注意：這裡所討論的極值點只限於定義域的內點

極值必要條件

若函式 在點 存在偏導數，且在 取得極值，則有

反之，若函式 在點 滿足上式，則稱點 為 的穩定點。

極值充分條件

設二元函式 在點 的某鄰域 上具有二階連續偏導數，且 是 的穩定點。則當 在 處的黑塞(Hesse)矩陣是正定矩陣時， 在點 取得極小值；當 在 處的黑塞(Hesse)矩陣是負定矩陣時， 在點 取得極大值；當在處的黑塞(Hesse)矩陣是不定矩陣時，在點不取極值。