小數法則，即小數定律(law of small numbers)，是阿莫斯·特沃斯基（Amos Tversky）和丹尼爾·卡納曼Daniel Kahneman在其研究中對“賭徒謬誤”的總結。
小數定律認為人類行為本身並不總是理性的，在不確定性情況下，人的思維過程會系統性地偏離理性法則而走捷徑，人的思維定勢、表象思維、外界環境等因素，會使人出現系統性偏見，採取並不理性的行為。大多數人在判斷不確定事件發生的機率時，往往會違背機率理論中的大數定律，而不由自主地使用“小數定律”，即濫用“典型事件”，忘記“基本機率”。
小數定律是指人們傾向於將從大樣本中得到的結論錯誤地移植到小樣本中的傾向。比如人們知道擲硬幣的機率是兩面各50% ，於是在連續擲出5個正面之後就傾向於判斷下一次出現反面的幾率較大。這一點已被大量的實驗和證券市場上的錯誤預測所證實。
基本介紹
- 中文名：小數法則
- 外文名：law of small numbers
- 領域：數學
- 類型：系統誤差
- 屬性：心理偏差
- 別稱：小數定律
簡介,小數法則的內容,例子,
簡介
不確定條件下的判斷與傳統經濟理論對理性的假定存在系統差別。他們早期的大多數研究強調的一個基本觀念是，人們一般不能完全分析包含經濟和機率判斷的情形。在這些情況下，人類決策依靠某些捷徑或啟發法，這些方法有時存在系統性偏差。
—個基本的偏差是個人似乎運用小數法則，將同樣的機率分布歸結為小樣本和大樣本中的經驗平均值，從而就違反了機率論中的大數法則。例如在一個著名的實驗中發現，參與實驗者認為在給定的一天中在大醫院和小醫院中出生的小孩中男孩的比例高於60%的機率相等。一般情況下，人們似乎沒有意識到隨著樣本的增大，隨機變數對平均數的偏離是不斷下降的。更精確地說，根據統計上的大數法則，隨機變數大樣本獨立觀察平均值的機率分布在隨機變數的期望值附近集中，並且樣本平均值的偏差隨著樣本規模的增大會趨近於零。根據心理學的小數法則。人們相信小樣本的平均值也會向隨機變數期望值附近集中分布。
—個基本的偏差是個人似乎運用小數法則，將同樣的機率分布歸結為小樣本和大樣本中的經驗平均值，從而就違反了機率論中的大數法則。例如在一個著名的實驗中發現，參與實驗者認為在給定的一天中在大醫院和小醫院中出生的小孩中男孩的比例高於60%的機率相等。一般情況下，人們似乎沒有意識到隨著樣本的增大，隨機變數對平均數的偏離是不斷下降的。更精確地說，根據統計上的大數法則，隨機變數大樣本獨立觀察平均值的機率分布在隨機變數的期望值附近集中，並且樣本平均值的偏差隨著樣本規模的增大會趨近於零。根據心理學的小數法則。人們相信小樣本的平均值也會向隨機變數期望值附近集中分布。
小數法則的內容
卡尼曼和特維爾斯基發現，不確定性下的推斷系統地偏離於傳統經濟理論提出的理性類型。卡尼曼和特維爾斯基的早期工作基於這樣的基本觀點：總的來說，人們通常沒有能力對環境做出經濟學的和機率推斷的總體嚴格分析。人們的推斷往往靠的是某種頓悟或經驗，所以經常導致系統性偏差。
一類基本偏差是人總是傾向於運用小數法則，認為小樣本和大樣本的經驗均值具有相同的機率分布，其實這違反了機率理論中的大數原則。例如，在一個著名的實驗中，參與人認為某一給定時間在大醫院內誕生的嬰兒有60%是男孩，則一家小醫院內情況必定相同。通常，人們好像都認識不到隨著樣本規模的擴大，隨機變數的樣本均值的方差減小的有多快。
但是，按照人類心理的小數法則，人們確信隨機變數期望值的分布也會反映在小樣本的樣本均值之中。這導致對短序列的獨立觀察值做了過度推論(overinference)。
小數法則還與相似性(representativeness)相關，這種相似性是形成推斷的重要因素。特維爾斯基和卡尼曼在一些精美的實驗中表述了這種經驗推斷方程。參與人被要求以已知的描述為基礎將人進行分類，如區分銷售人員或議員等。對於一個給定群體中隨機抽取的某個人，當給他的描述是“對政治感興趣，樂於參與辯論，渴望出現在媒體上”時，許多參與人判斷說是議員。即使這個群體中，銷售員更具備這種特徵。特維爾斯基和卡尼曼(1973)深入地考察了這種經驗推斷式的思考方式，在他們的實驗中，一些參與者得到有關群體構成的確切信息。一類設計中群體由30%的工程師和70%的律師組成，另一類設計中群體構成比例相反。實驗的結果是這種差異對參與者的推斷不會產生真正的影響。
經驗推斷也會令人們相信兩個事件的聯合機率高於其中的事件之一發生的機率，這與機率理論的基本定理相悖。例如，某實驗中的參與者就認為如果Bjorn Borg闖入溫布爾登決賽，則相對於輸掉第一盤的結果，他輸掉第一盤而贏得冠軍的結果更可能出現。
機率推斷中的另一種常見偏差是可利用性(availability)偏差，指人們通過不費力地回想出的例子來進行機率推斷，結果導致賦予那些易見的、容易記起的信息以過大的比重。比如，人們總是在親身獲知某人在一座城市中被謀殺時，高估這座城市的犯罪率。認知心理學通常認為，與不熟悉的信息相比，熟悉的信息更容易被憶起，也更讓人相信其真實性和相關性。熟悉和可得性於是成為真切和相關性的暗示。
例子
小數規則的一個例子是，如果一位投資者觀察到一位基金經理在過去兩年中的投資業績好於平均情況，就會得出這位經理要比一般經理優秀的結論。然而真實的統計含義非常微弱。一個相關的例子就是賭徒謬誤，許多人都希望隨機的第二次抽彩與第一次沒有關係，即使抽彩從統計上看是相互獨立的。在投擲硬幣遊戲中，如果前幾次大多數出現正面，那么很多人就相信下一次投擲很可能出現反面。最近的研究描述了小數規則對經濟決定的重要作用(Rabin，2002)。
小數法則與典型法，即卡尼曼和特韋爾斯基發現的作為人類判斷重要因素的啟發法相關。他們在幾個重要實驗中闡明了這種啟發法的功能。參與實驗者要求根據描述對一群人進行歸類，比如說分成“商人”和“議員”。從給定的人群中隨機找出一個進行描述，其特徵包括“對政治感興趣，喜歡參與爭論，熱衷於出現在媒體中”，大多數人會認為這是個議員，即使選定的人群中商人的比例更高這一事實使該人更可能是一個商人。他們進一步檢驗了這一觀察到結果。他們做了一個實驗。在這個實驗中，某些參與實驗者擁有關於人群組成比例的明確信息。一個方案是要被分類的人群是從30%工程師和70%律師組成的一群人中抽取的；另一個方案中比例相反。結果表明這種差別對參與實驗者的判斷沒有影響。 施萊佛(Shleifer)認為，小數法則和典型法可以解釋金融市場上的某些反常(Shleifer，2000)。例如對股票價格的過度敏感可能是投資者對利好新聞短期刺激過度反應的結果。
機率判斷另一個共同偏見是有效性，人們通過簡化特定事例判斷機率。結果是人們更傾向於明顯的或便於記憶的信息(Tversky and Kahneman，1973)，認知心理學的一個一般發現是，與不熟悉的信息相比，熟悉的信息更便於記憶，也相信其更加真實，相關。這樣，熟悉和有效就對精確和相關起到提示作用。因此，媒體中某些信息極少重複，如果不考慮精確性，人們就會更容易認為其有效並因此而產生錯誤認識。
這一人類判斷的證據表明，人們的推理向機率論的基本法則提出了系統挑戰。卡尼曼的研究闡明了這一點，向傳統經濟論基礎之一的經驗有效性提出了非常嚴肅的質疑。
小數法則與典型法，即卡尼曼和特韋爾斯基發現的作為人類判斷重要因素的啟發法相關。他們在幾個重要實驗中闡明了這種啟發法的功能。參與實驗者要求根據描述對一群人進行歸類，比如說分成“商人”和“議員”。從給定的人群中隨機找出一個進行描述，其特徵包括“對政治感興趣，喜歡參與爭論，熱衷於出現在媒體中”，大多數人會認為這是個議員，即使選定的人群中商人的比例更高這一事實使該人更可能是一個商人。他們進一步檢驗了這一觀察到結果。他們做了一個實驗。在這個實驗中，某些參與實驗者擁有關於人群組成比例的明確信息。一個方案是要被分類的人群是從30%工程師和70%律師組成的一群人中抽取的；另一個方案中比例相反。結果表明這種差別對參與實驗者的判斷沒有影響。 施萊佛(Shleifer)認為，小數法則和典型法可以解釋金融市場上的某些反常(Shleifer，2000)。例如對股票價格的過度敏感可能是投資者對利好新聞短期刺激過度反應的結果。
機率判斷另一個共同偏見是有效性，人們通過簡化特定事例判斷機率。結果是人們更傾向於明顯的或便於記憶的信息(Tversky and Kahneman，1973)，認知心理學的一個一般發現是，與不熟悉的信息相比，熟悉的信息更便於記憶，也相信其更加真實，相關。這樣，熟悉和有效就對精確和相關起到提示作用。因此，媒體中某些信息極少重複，如果不考慮精確性，人們就會更容易認為其有效並因此而產生錯誤認識。
這一人類判斷的證據表明，人們的推理向機率論的基本法則提出了系統挑戰。卡尼曼的研究闡明了這一點，向傳統經濟論基礎之一的經驗有效性提出了非常嚴肅的質疑。
