對數公式

對數公式

對數公式是數學中的一種常見公式,如果a^x=N(a>0,且a≠1),則x叫做以a為底N的對數,記做x=log(a)(N),其中a要寫於log右下。其中a叫做對數的底,N叫做真數。通常我們將以10為底的對數叫做常用對數,以e為底的對數稱為自然對數。

基本介紹

  • 中文名:對數公式
  • 外文名:logarithmic formula
  • 類別:公式
  • 適用領域數學
  • 適用函式對數函式
性質,基本知識,恆等式及證明,運算法則,換底公式,推導公式,求導數,

性質

基本知識

③負數與零無對數.
*
=1;

恆等式及證明

a^log(a)(N)=N (a>0 ,a≠1)推導:log(a) (a^N)=N恆等式證明
在a>0且a≠1,N>0時
設:當log(a)(N)=t,滿足(t∈R)
則有a^t=N;
a^(log(a)(N))=a^t=N;
證明完畢

運算法則

(M,N∈R)
如果
,則m為數a的自然對數,即
,e=2.718281828…為自然對數
的底,其為無限不循環小數。定義: 若
基本性質:
1、
2、
3、
4、
5、
6、
推導:
1、因為
,代入則
,即
2、MN=M×N
由基本性質1(換掉M和N)
由指數的性質
又因為指數函式單調函式,所以
3、與(2)類似處理 M/N=M÷N
由基本性質1(換掉M和N)
由指數的性質
又因為指數函式是單調函式,所以
4、與(2)類似處理
由基本性質1(換掉M)
由指數的性質
又因為指數函式是單調函式,所以
由基本性質2(展開
,如圖所示)
對數基本性質4推導過程對數基本性質4推導過程
基本性質4推廣
推導如下: 由換底公式(見下面)[
,e稱作自然對數的底]
換底公式的推導: 設
其中
得:
由基本性質4可得
再由換底公式

換底公式

推導一:
對數公式
設b=a^m,a=c^n,則b=(c^n)^m=c^(mn) ①
對①取以a為底的對數,有:log(a)(b)=m ②
對①取以c為底的對數,有:log(c)(b)=mn ③
③/②,得:log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)
推導二:
註:log(a)(b)表示以a為底b的對數。
換底公式拓展:
以e為底數和以a為底數的公式代換:
logae=1/(lna)

推導公式

log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)
loga(b)*logb(a)=1
loge(x)=ln(x)
lg(x)=log10(x)

求導數

(xlogax)'=logax+1/lna
其中,logax中的a為底數,x為真數;
(logax)'=1/xlna
特殊的即a=e時有
(logex)'=(lnx)'=1/x

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