射影態射

射影空間是整體幾何最基本的研究對象之一。射影空間的概念最初產生於古典射影幾何。對於射影定理中的奇異情形(即有些直線相互平行的情形)，為方便起見引入無窮遠點的概念，即規定平面上每條直線上有一個無窮遠點，兩條直線平行就是相交於無窮遠點，所有無窮遠點組成一條無窮遠直線。

設P(E)為由向量空間E導出的射影空間。對E的任一向量子空間E′，在典範映射π下，E′-{0}的象叫做射影線性簇，射影簇或射影子空間，並記為P(E′)。射影態射(projective morphism)是射影簇的推廣及相對化。

基本介紹

• 中文名：射影態射
• 外文名：projective morphism
• 領域：數學
• 性質：射影簇的推廣及相對化
• 空間：射影空間
• 對象：概形

概念

射影態射(projective morphism)是射影簇的推廣及相對化。設S是一個概形，Z上射影空間：

P_Z=Proj Z[T₀，T₁，…，T_n]

用S→Spec Z做基擴張後可以得到S上的射影空間P_S=P_Z×_{Spec Z}S。若態射f：X→S可以分解為一個閉浸入X→P_S以及投影P_S→S的複合，則稱f是射影態射，X稱為射影S概形。直觀地看，射影S概形就是S上某個射影空間的閉子概形。諾特概形的射影態射一定是正常態射。射影態射是一個整體概念，即射影態射f：X→S在任一點s∈S上的纖維f(s)都是剩餘域k(s)上的射影概形；但反之則不對。當S=Spec A是仿射概形時，射影S概形一定是某個分次A代數的齊次譜。當S是一般概形時，一定存在分次O_S代數層R，使得射影S概形同構於Proj R。

向量空間

設K為交換體。稱賦以由下列兩個給定法則所定義的代數結構的集合E為K上的向量空間：

——記為加法的合成法則，

——記為乘法的作用法則，即從K×E到E中的映射，

這兩個法則滿足下列條件：

a)賦以加法的集合E是交換群；

b) 對K的任一元素偶(α，β)，以及對E的任一元素x，

α(βx)=(αβ)x；

c) 對E的任一向量x，1x=x，其中1表示體K的單位元素;

d)對K的任一元素偶(α，β)，以及對E的任一元素偶(x，y)，

(α+β)x=αx+βx

α(x+y)=αx+αy.

當體K不再假定為交換的時，滿足上述條件的集合E稱為K上的左向量空間。

如果條件α(βx)=(αβ)x換為α(βx)=(βα)x，則稱E為K上的右向量空間。

射影空間

射影空間是整體幾何最基本的研究對象之一。射影空間的概念最初產生於古典射影幾何。對於射影定理中的奇異情形(即有些直線相互平行的情形)，為方便起見引入無窮遠點的概念，即規定平面上每條直線上有一個無窮遠點，兩條直線平行就是相交於無窮遠點，所有無窮遠點組成一條無窮遠直線。這種構造方法還可以推廣到高維空間，建立n維(實)射影空間P_R。在n維射影空間中常採用齊次坐標(X₀∶X₁∶…∶X_n)，其中X₀，X₁，…，X_n不全為0；若a≠0，則(aX₀∶aX₁∶…∶aX_n)與(X₀∶X₁∶…∶X_n)表示同一個點。因此n維(實)射影空間同構於(R-{0})/R。進一步的研究表明P_R是緊緻解析流形。若令U_i(0≤i≤n)為P_R中坐標X_i≠0的點全體，則U_iR，且U₀，U₁，…，U_n組成P_R的一個開覆蓋。上述構造方法可以推廣到任意體K上，建立K上的n維射影空間P_K。在概形理論中，還將射影空間建立在整數環Z上，即建立射影概形P_Z。由此對任意概形X可以建立P_X，它是X和P_Z(在Spec Z上)的纖維積。特別地，若X=Spec K(K為域)，則P_X=Pn_K。

由於射影空間的性質非常豐富難以全面列舉，僅舉數例如下：

1.P_R同胚於圓，P_C可看做添上無窮遠點的複平面，同胚於球面.

2.P_R是單側曲面，可以同胚地嵌入四維空間R，但不能同胚地嵌入三維空間R，P_C是代數極小曲面.

3.P_C是克勒流形，它的閉解析子空間都是代數的.

4.對任意域k，P_k是齊性空間，其切叢由整體向量場生成，其自同構群為射影群PSL(n+1，k)，其皮卡群Pic(P_k)Z。

射影簇

設P(E)為由向量空間E導出的射影空間。對E的任一向量子空間E′，在典範映射π下，E′-{0}的象叫做射影線性簇，射影簇或射影子空間，並記為P(E′)。

概形

概形是代數幾何的基本研究對象。它實際上就是一個局部同構於仿射概形的局部環空間。更精確地，概形(X，O_X)是一個環空間，其拓撲空間X有一個開覆蓋{X_i}_i∈I，使得(X_i，O_X|X_i)同構於仿射概形Spec Γ(X_i，O_X)(這樣的覆蓋稱為仿射開覆蓋)。概形間的態射就是局部環空間的態射。概形的範疇是局部環空間範疇的子範疇。若概形X有一個仿射開覆蓋{X_i}，使得每個仿射概形都是諾特概形、既約概形、正規概形或正則概形，則相應地稱概形X是局部諾特的、既約的、正規的或正則的。這些性質都是概形的局部性質，就是說，只要存在一個仿射開覆蓋具有上述某種性質，這個概形就具有此性質，而且任意一個仿射開子概形都有此性質.若概形X的拓撲空間是連通空間或不可約空間(即它不能表成兩個不同真閉子集的並)，則稱此概形為連通的或不可約的。

在研究概形的性質或有關的概念時，往往要考慮具有相同基礎的概形。帶有態射f：X→S的概形X稱為S概形.若S=Spec A是仿射概形，則S概形簡稱A概形。顯然任何概形都是Z概形。給出基變換態射S′→S後，可以得到一個S′概形X_S′=X×_SS′，稱為S概形X的基擴張.與S概形相關的概念稱為相對概念，以區別於與概形相關的絕對概念。S概形與態射f：X→S密切相關.不同性質的態射就給出了不同的S概形。例如，設f：X→S是一個態射，若對角浸入X→X×_SX是閉態射，則稱f是分離態射；若存在S的一個仿射開覆蓋{U_i}={Spec B_i}，使得每個f(U_i)都有一個有限仿射開覆蓋{V_ij}={Spec A_ij}，並且A_ij都是有限生成B_i代數，則稱f是有限型的；若f(U_i)=Spec A_i，A_i都是有限生成B_i模，則稱f是有限態射。有限態射是仿射態射。代數幾何中研究的S概形一般都是分離、有限型的。