門格海綿(孟結海綿)

門格海綿

孟結海綿一般指本詞條

門格海綿(Menger sponge、Menger universal curve)是分形的一種。它是一個通用曲線,因為它的拓撲維數為一,且任何其它曲線都與門格海綿的某個子集同胚。它有時稱為門格-謝爾賓斯基海綿或謝爾賓斯基海綿。它是康托爾集謝爾賓斯基地毯在三維空間的推廣。它首先由奧地利數學家卡爾·門格在1926年描述,當時他正在研究拓撲維數的概念。

基本介紹

  • 中文名:門格海綿
  • 外文名:Menger Sponge
  • 分類:分形幾何學
定義,結構,性質,正式定義,參見,

定義

門格海綿是分形的一種。它是一個通用曲線,因為它的拓撲維數為一,且任何其它曲線或圖都與門格海綿的某個子集同胚。它有時稱為門格-謝爾賓斯基海綿或謝爾賓斯基海綿。它是康托爾集謝爾賓斯基地毯三維空間的推廣。

結構

門格海綿的結構可以用以下方法形象化:
  1. 從一個正方體開始。(第一個圖像)
  2. 把正方體的每一個面分成9個正方形。這將把正方體分成27個小正方體,像魔方一樣。
  3. 把每一面的中間的正方體去掉,把最中心的正方體也去掉,留下20個正方體(第二個圖像)。
  4. 把每一個留下的小正方體都重複第1-3個步驟。
把以上的步驟重複無窮多次以後,得到的圖形就是門格海綿。

性質

門格海綿的每一個面都是謝爾賓斯基地毯;同時,門格海綿與原先立體的任何一條對角線的交集都是康托爾集
門格海綿是一個閉集;由於它也是有界的,根據海涅-博雷爾定理,它是一個緊集。更進一步,門格海綿是不可數集,且具有勒貝格測度0。
門格海綿的拓撲維數是一,與任何曲線一樣。門格在1926年證明了,它是一個通用曲線,就是說任何一維曲線都與門格海綿的一個子集同胚,這裡的曲線是指任何勒貝格覆蓋維數為一的度量空間
門格海綿的豪斯多夫維為(ln 20) / (ln 3)(大約2.726833)。
門格海綿的表面積無窮大。

正式定義

正式地,門格海綿可以定義如下:
其中M0是單位立方體,且:
且i、j和k中最多只有一個等於1。

參見

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