緊集

緊集是指拓撲空間內的一類特殊點集，它們的任何開覆蓋都有有限子覆蓋。從某種意義上，緊集類似於閉集。

基本介紹

• 中文名：緊集
• 外文名：Compact set
• 所屬學科：數學
• 內涵：特殊點集
• 相關概念：有界、閉集、收斂的子序列等

定義

如果一個集合 包含在某個球內，也即存在 和 使得 ，那么該集合是有界的(bounded)。

有界的定義可以用某個固定的球心 表述，因為如果一個集合包含在球 中，那么它也包含在球 中。我們通常設定 來討論有界性。

如果 是有界的閉集，那么S是緊集。

相關概念

定義1 設 是 中的一個點序列，設 為一個正整數序列，並且 [這裡將 寫成 較為方便]。由 組成的序列稱為 的子序列。如果對於所選擇的 ，X“¨， 收斂，就說序列 有一個收斂的子序列。

定義2 假設 是一個函式，自變數為 ，取值為 。設S為 的任意子集。則 是指對 的集合。換言之

稱為S(關於函式 )的象(image)。

相關性質定理

定理1

是緊集，若且唯若每個序列 (其中 ，對 都有一個收斂於點 的子序列。

定理2

如果 是非空( )的緊集，那么S包含了一個最大數和一個最小數。

證明: 我們將證明集合S包含一個最大數。證明該集合包含一個最小數的方法是類似的。證明用到了有關實數集R的如下事實：如果一個非空的實數集有上界，那么它有最小上界(實數集S的上界是一個數b，對所有的 有 )。也就是說，存在一個數，稱為LUB或者S的上確界(sup)，使得如果b是S的任意上界，有b≥sup(S)。假設 是非空( )的緊集。由於緊集是有界的，因而S有一個最小上界比如說 。首先假設 ，那么 是S中的最大數，否則就不是S的一個上界。接下來假設 。我們將證明 是S中點序列的極限，並且，由於S是閉集，因而 一定在S中。這與 的假設相矛盾。對每一個 ，存在一個 使得 ，否則S將有一個小於 的上界。於是 ，正如我們所要證明的。

定理3

設 為從 到 的連續函式。如果 是緊集，那么 也是緊集。

證明: 只需要證明，如果 是 中任意的點序列。那么存在一個收斂於 中某個點的子序列 根據 的定義，在S中存在點 使得對任意的 ，有 。由於S是緊集．因而存在 的一個子序列，稱之為 使得對 ，有 。又由於 是連續的， 。但由於 ， 在 中。因此 是 的收斂於 中一個點的子序列。

定理4

設S為 的一個非空的緊子集，並設 為一個連續函式。則S中存在一個 和一個 ，使得

換言之，連續實值函式 在緊集S上既能取得極小值，也能取得極大值。

證明：根據定理3， 是緊集；根據定理2，由於 ， 中存在 和 ，使得

和 是S中使 和 的點。