基本不等式

基本不等式是主要套用於求某些函式的最值及證明的不等式。其表述為：兩個正實數的算術平均數大於或等於它們的幾何平均數。

基本介紹

• 中文名：基本不等式
• 外文名：fundamental inequality
• 別稱：二元均值不等式
• 表達式：a^2+b^2≥2ab
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：不等式
• 適用領域範圍：理工科

概念

文字敘述

兩個正實數的算術平均數大於或等於它們的幾何平均數。

公式

若且唯若 時取等號

其中稱為的算術平均數，稱為的幾何平均數。

變形

若且唯若時取等號

證明

算術證明

∴a²+b²≥2ab

當 時，兩邊開平方

因為 ，所以若且唯若 時，不等式取等號。

幾何證明

在 中， ，點 為 的中點， 為高，設 ，

由射影定理，得

在 中，點 為斜邊 的中點

中，

若且唯若 與 重合，即 時等號成立

推廣

一般地，若是正實數，則有均值不等式

若且唯若時取等號

套用

和積互化

和定積最大

當一定時，，且當時取等號

積定和最小

當一定時，，且當時取等號

求解最值

例：求 在 的最小值

解：由基本不等式可得，

當 即 時取等號

答：當 時， 在 有最小值。