均值定理

均值定理，又稱基本不等式。主要內容為在正實數範圍內，若干數的幾何平均數不超過他們的算術平均數，且當這些數全部相等時，算術平均數與幾何平均數相等。

均值定理是高中數學學習中的一個非常重要的知識點，在函式求最值問題中有十分頻繁的套用。

基本介紹

• 中文名：均值定理
• 外文名：Mean value theorem
• 別稱：基本不等式
• 表達式：Gn≤An
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：函式求最值問題
• 適用領域範圍：高中數學
• 相關：均值不等式

定義

均值定理：對於任意兩個正實數a、b，都有

若且唯若a=b時，等號成立。
注：運用均值不等式求最值條件

① ， ；

②a和b的乘積ab是一個定值（正數）；

③等號成立條件。

相關重要不等式：

① ；

② ；

③ 。

幾何含義

一個矩形的長為a，寬為b，畫兩個正方形，要求第一個正方形的面積與矩形的面積相同，第二個正方形的周長與矩形的周長相同，如圖1所示。第一個正方形的面積為ab，則其邊長為 ；第二個正方形的周長為 ，邊長為 。可以看出第一個正方形面積不大於第二個正方形，即邊長關係 。

圖1 均值定理幾何含義

推廣

均值不等式

均值定理可進行推廣，得到更為通用的均值不等式： 。即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數，簡記為“調幾算方”。

其中：對於任意非負實數 ，有

，即調和平均數；

，即幾何平均數；

，即為算術平均數；

，即為平方平均數。

例題

（1）當 時，求 的最大值。

解：

若且唯若 ，即 時， 取最大值8。

（2）當 時，求函式 的最小值。

解：

若且唯若，即時，取最小值3。