圓錐曲線論

圓錐曲線論

圓錐曲線最早是由古希臘學者梅內克謬斯(Menaechmus)進行系統研究的,他用頂角分別為直角、銳角和鈍角,三種直圓錐以不過頂點而垂直一條母線的平面截割這三種圓錐曲面,而分別得到拋物線、橢圓和雙曲線的一支。

基本介紹

  • 書名:圓錐曲線論
  • 作者:阿波羅尼奧斯
  • 類別:數學著作
  • 所在地:佩爾格(Perga或Perge)
簡介,發展,性質,橢圓,雙曲線,拋物線,離心率,極坐標方程,焦半徑,切線方程,焦準距,焦點三角形,通徑,對比,中點弦問題,統一方程,

簡介

圓錐曲線亦稱圓錐截線。簡稱錐線。一類重要的二次曲線。它是不過圓錐頂點的平面與圓錐面相交而成的曲線。
設圓錐的半頂角為α,平面與圓錐的軸所成的角為θ:
當θ=α 時,截面和圓錐的一條母線平行,交線是拋物線;
當 α<θ≤π/2 時,截面和所有的母線相交,交線是橢圓,特別當θ=π/2 時,交線時圓;
當 0≤θ<α 時,截面和兩條母線平行,交線時雙曲線。
因此,圓錐曲線包括拋物線、橢圓和雙曲線,統稱圓錐曲線。如果平面過圓錐的頂點,截面與圓錐面的交集有以下幾種情況:
當θ=α 時,平面與圓錐面相切於圓錐的一條母線,可視為退化拋物線;
當α<θ≤π/2 時,平面與圓錐面有惟一公共點(圓錐的頂點),可視為退化的橢圓;
當 0≤θ<α 時,平面與圓錐面相交於兩條母線,可視為退化雙曲線。
這些交集統稱為退化圓錐曲線。一般所謂的圓錐曲線,是指非退化的圓錐曲線。
在平面仿射坐標系中,圓錐曲線的方程都是二元二次方程,因此,圓錐曲線又稱為二次曲線。而且平面與任何二次曲面的交線總是二次曲線。例如,圓柱的斜截口即為橢圓。構想在圓錐的頂點 V 處放一點光源,圓在燈光下的陰影一般時圓錐形的,因此,圓錐曲線是圓在中心投影下,在不同平面上的射影。橢圓、拋物線、雙曲線與圓在中心投影下互變的規律性對於航空測量(高空照片的分析)和透視學研究具有重要意義。

發展

圓錐曲線最早是由古希臘學者梅內克謬斯(Menaechmus)進行系統研究的。
到了亞歷山大里亞時期,阿波羅尼奧斯(Apollonius,(P))在他的《圓錐曲線學》中指出同一圓錐的不同截口曲線可以是拋物線(齊曲線)、橢圓(虧曲線)和雙曲線(超曲線),並且研究了圓錐曲線的共軛直徑、切線和法線及其性質,也研究了圓錐曲線的極點和極線的性質。書中沒有談準線,但圓錐曲線是到定點(焦點)和到定直線(準線)的距離之比為常數(離心率)的點的軌跡,對此歐幾里得(Euclid)是知道的,並由帕普斯(Pappus,(A))述及且給出證明,這些對形成近代圓錐曲線的理論有著深遠的影響。
自從笛卡兒(Descartes,R.)引進坐標系以來,沃利斯(Wallis,J.)在他的《論圓錐曲線》中,為了闡明阿波羅尼奧斯的結果,把幾何條件轉化為代數條件,第一個證明了動點坐標x,y的二元二次方程與幾何里的圓錐曲線對應,並開始用方程的理論來研究曲線的性質。
16 —17 世紀,隨著機械工業的誕生和航海、建築、造船、採礦等事業的發達,推動了天文學和力學的發展。這時在天文學上發現行星的軌道是橢圓,力學上確定了拋射體的軌道是拋物線等。因此,有關圓錐曲線的深人研究也就成為迫切的需要了。
到了18 世紀,由於歐拉(Euler,L.)等多人的努力,圓錐曲線的現代理論才有了最終的結果。

性質

橢圓

文字語言定義:平面內一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比是一個小於1的正常數e。平面內一個動點到兩個定點(焦點)的距離和等於定長2a的點的集合(設動點為P,兩個定點為F1和F2,則PF1+PF2=2a)。定點是橢圓的焦點,定直線是橢圓的準線,常數e是橢圓的離心率
標準方程
1、中心在原點焦點在x軸上的橢圓標準方程:
其中
2、中心在原點焦點在y軸上的橢圓標準方程:
其中
參數方程
(θ為參數,0≤θ≤2π)。

雙曲線

文字語言定義:平面內一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比是一個大於1的常數e;平面內一個動點到兩個定點(焦點)的距離差等於定長2a的點的集合(設動點為P,兩個定點為F1和F2,則│PF1-PF2│=2a)定點是雙曲線的焦點,定直線是雙曲線的準線,常數e是雙曲線的離心率
標準方程:
1、中心在原點,焦點在x軸上的雙曲線標準方程
其中a>0,b>0,c2=a2+b2
2、中心在原點,焦點在y軸上的雙曲線標準方程
其中a>0,b>0,c2=a2+b2
參數方程:x=asecθ;y=btanθ (θ為參數)。

拋物線

文字語言定義:平面內一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比是等於1。定點是拋物線的焦點,定直線是拋物線的準線
x=2pt2
y=2pt (t為參數),
t=1/tanθ(tanθ為曲線上點與坐標原點確定直線的斜率特別地,t可等於0。
y=ax2+bx+c (開口方向為y軸,a≠0) x=ay2+by+c (開口方向為x軸,a≠0)。

離心率

橢圓雙曲線拋物線這些圓錐曲線有統一的定義:平面上,到定點的距離與到定直線的距離的比e是常數的點的軌跡叫做圓錐曲線。且當0<e<1時為橢圓:當e=1時為拋物線;當e>1時為雙曲線
這裡的參數e就是圓錐曲線的離心率,它不僅可以描述圓錐曲線的類型,也可以描述圓錐曲線的具體形狀,簡言之,離心率相同的圓錐曲線都是相似圖形。一個圓錐曲線,只要確定了離心率,形狀就確定了。特別的,因為拋物線的離心率都等於1,所以所有的拋物線都是相似圖形。

極坐標方程

1、在圓錐中,圓錐曲線極坐標方程可表示為:
其中l表示半徑,e表示離心率;
2、在平面坐標系中,圓錐曲線極坐標方程可表示為:
其中e表示離心率,p表示焦點到準線的距離。

焦半徑

圓錐曲線上任意一點到焦點的距離稱為焦半徑
圓錐曲線左右焦點為F1、F2,其上任意一點為P(x,y),則焦半徑為:
|PF1|=a+ex(PF1>PF2);
|PF2|=a-ex(PF2<PF1)。
P在左支,|PF1|=-a-ex,|PF2|=a-ex;
P在右支,|PF1|=a+ex,|PF2|=-a+ex;
P在下支,|PF1|= -a-ey,|PF2|=a-ey;
P在上支,|PF1|= a+ey,|PF2|=-a+ey。
|PF|=x+p/2。

切線方程

圓錐曲線上一點P(
)的切線方程
代替
,以
代替
;以
代替
,以
代替
即得橢圓
雙曲線
拋物線

焦準距

圓錐曲線的焦點到準線的距離p,叫圓錐曲線的焦準距,或焦參數
橢圓:
雙曲線:
拋物線:p。

焦點三角形

橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形。
設F1、F2分別為橢圓或雙曲線的兩個焦點,P為橢圓或雙曲線上的一點且PF1F2能構成三角形。
若∠F1PF2=θ,則橢圓焦點三角形的面積為
雙曲線焦點三角形的面積為

通徑

圓錐曲線中,過焦點並垂直於軸的弦稱為通徑
橢圓的通徑:
雙曲線的通徑:
拋物線的通徑:2p

對比

標準方程
x2/a2+y2/b2=1 (a>b>0)
x2/a2-y2/b2=1 (a>0,b>0)
y2=2px (p>0)
範圍
x∈[-a,a]
y∈[-b,b]
x∈(-∞,-a]∪[a,+∞)
y∈R
x∈[0,+∞)
y∈R
關於x軸,y軸,原點對稱
關於x軸,y軸,原點對稱
關於x軸對稱
頂點
(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)
(a,0),(-a,0)
(0,0)
(c,0),(-c,0)
【其中c2=a2-b2
(c,0),(-c,0)
【其中c2=a2+b2
(p/2,0)
x=±a2/c
x=±a2/c
x=-p/2
——————
y=±(b/a)x
—————
e=c/a,e∈(0,1)
e=c/a,e∈(1,+∞)
e=1
∣PF1∣=a+ex
∣PF2∣=a-ex
∣PF1∣=∣ex+a∣
∣PF2∣=∣ex-a∣
∣PF∣=x+p/2
p=b2/c
p=b2/c
p
2b2/a
2b2/a
2p
x=a·cosθ
y=b·sinθ,θ為參數
x=a·secθ
y=b·tanθ,θ為參數
x=2pt2
y=2pt,t為參數
過圓錐曲線上一點
(x0,y0)的切線方程
x0·x/a2+y0·y/b2=1
x0x/a2-y0·y/b2=1
y0·y=p(x+x0)
斜率為k的切線方程
y=kx±√(a2·k2+b2)
y=kx±√(a2·k2-b2)
y=kx+p/2k

中點弦問題

已知圓錐曲線內一點為圓錐曲線的一弦中點,求該弦的方程:
點斜式設出該弦的方程(斜率不存在的情況需要另外考慮),與圓錐曲線方程聯立求得關於x的一元二次方程和關於y的一元二次方程,由韋達定理得到兩根之和的表達式,再由中點坐標公式和兩根之和的具體數值,求出該弦的方程。
2、點差法(代點相減法)
設出弦的兩端點坐標(x1,y1)和(x2,y2),代入圓錐曲線的方程,將得到的兩個方程相減,運用平方差公式得[(x1+x2)(x1-x2)]/a2+[(y1+y2)(y1-y2)/b2]=0
斜率為(y1-y2)/(x1-x2),可以得到斜率的取值(使用時注意判別式的問題)

統一方程

平面直角坐標系內的任意圓錐曲線可用如下方程表示:
其中,α∈[0,2π),p>0,e≥0。
①e=1時,表示以F(g,h)為焦點,p為焦點到準線距離的拋物線。其中
與極軸夾角α(A為拋物線頂點)。
②0<e<1時,表示以F1(g,h)為一個焦點,p為焦點到準線距離,e為離心率的橢圓。其中
與極軸夾角α。
③e>1時,表示以F2(g,h)為一個焦點,p為焦點到準線距離,e為離心率的雙曲線。其中
與極軸夾角α。
④e=0時,表示點F(g,h)。
五點法求平面內圓錐曲線可以採用該統一方程。代入五組有序實數對,求出對應參數。
註:此方程不適用於圓錐曲線的其他退化形式,如等。
附:當e≠0時,F(g,h)對應準線方程:

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