四等分圓周

此題目是由義大利數學家羅蘭索·馬歇羅尼（Lorenzo Mascheroni）向拿破崙·波拿巴提出的問題，但不知道他是否有解出這個問題。此題目後來又更加進化，變成只給定一圓，只用圓規將此圓四等分，在這種情況必須先用圓規作圖找到圓心。以上兩種都被稱為拿破崙問題。

基本介紹

• 中文名：四等分圓周
• 外文名：Four divide the circumference
• 國籍：義大利
• 提出人：羅蘭索·馬歇羅尼
• 歸屬：數學

具體要求就是：只用圓規，不許用直尺，在平面上構造四個點，使之成為某個正方形的頂點。當然這個問題後來被證明是有解的。

思路：設半徑為1。可算出其內接正方形邊長為√2，也就是說用這個長度去等分圓周。我們的任務就是做出這個長度。六等分圓周時會出現一個√3的長度。設法構造斜邊為√3，一直角邊為1的直角三角形，√2的長度自然就出來了。
具體做法

第一步：找圓心

1 在已知圓周上任取一點A，以A為圓心，適當長為半徑作圓A，交已知圓於兩點B、C。

2 從B點出發，以AB為半徑，在圓A上連續截取3次得到點D。

3 分別以A、D為圓心，CD 為半徑畫弧，兩弧相交於E。

4 以E為圓心，EA為半徑作弧，交圓A於F。

5 分別以A、B為圓心，FB為半徑畫弧，兩弧交點O就是所求的已知圓的圓心。

第二步：四等分周長

1 取已知圓O上任一點A，以A為一個分點把⊙O六等分，分點依次為A、B、C、D、E、F。

2 分別以A、D為圓心，AC、BD為半徑作圓交於G。

3 以A為圓心，OG為半徑作圓，交⊙O於M、N，則A、M、D、N即四等分⊙O的圓周。

第三步：四等分面積

1 以A為圓心，OA長為半徑畫弧，交⊙O於兩點，取⊙O上在點A順時針方向的點為點E。

2 以E為圓心，OA長為半徑畫弧，把點O與點A用圓弧相連。

3 以同樣的方法作出弧OM、OD、ON，則這四條弧把⊙O面積等分。