嚴格凹函式

嚴格凹函式是一個定義在某個向量空間的凸子集C上的一類實值函式。若對於凸子集C中任意兩個向量p,q, 滿足f((p+q)/2)<(f(p)+f(q))/2, 則稱f(x)是定義在凸子集C中的嚴格凹函式。

定義

嚴格凹函式是定義在某個向量空間的凸子集C（區間）上的實值函式 (x) ，而且對於凸子集C中任意兩個向量p,q， 滿足

則稱 是定義在凸子集C中的嚴格凹函式。容易證明，其定義等價於若 滿足

對任意兩個向量p,q成立。特別地，若這裡凸集C即某個區間 I ，那么就是：設 為定義在區間 I 上的函式，若對 I 上的任意兩點 和 ，有

成立，則稱 是定義在區間I 中的嚴格凹函式。

在上面的定義中，若將小於號改變小於等於，則上面的函式稱之為凹函式。

判別方法

引理

為 I上的凹函式的充要條件是：對於I的任意三點 ，總有

證明：

必要性：

設 ，則有 ，由凸性的定義代入，從而有

整理後即可得到。

充分性：

在I上任取兩點 ，在 上任取一點 ，由必要性的推導逆過程，可證得

故為I上的凹函式。證畢。

推論1

為 I上的函式，下列條件等價：

1） 為 I上的凹函式的。

2）為I上的減函式。

3） 對I上的任意兩點 ，有

推論2

對於實數集上的函式，如果其二階導數在區間上非正，就為凹函式。如果其二階導數在區間上恆小於0，就為嚴格凹函式。

嚴格凹函式的性質

1）一元可微函式在某個區間上是嚴格凹的，若且唯若它的導數在該區間上嚴格單調減的。

2）一元連續可微函式在區間上是嚴格凹的，若且唯若函式位於所有它的切線的下方：對於區間內的所有和，都有 。特別地，如果 ，那么c是 的最大值。

3）一元二階可微的函式在區間上是嚴格凹的，若且唯若它的二階導數是負的；這可以用來判斷某個函式是不是嚴格凹函式，但反過來不成立。更一般地，多元二次可微的連續函式在凸集上是嚴格凹的，若且唯若它的黑塞矩陣在凸集的內部是嚴格負定的。

4）嚴格凹函式的任何極大值也是最大值。嚴格凹函式最多有一個最大值。

5）對於嚴格凹函式 ，水平子集 和 是嚴格凸集。

6）反向延森不等式對嚴格凹函式 都成立。

7）如果和是嚴格凹函式，那么和也是嚴格凹函式。

8）如果和是嚴格凹函式，且g遞減，那么是嚴格凹函式。

9） 凸性在仿射映射下不變：也就是說，如果是凹函式，那么也是凹函式。

等等性質。

注

某些教材的凹函式定義與此定義相反，即凸函式與凹函式相反。如北京大學版本和中山大學的數學教材。