對數凸函式

對數凸函式(logarithmic convex function)是取對數後為凸的函式，若ln f為區間I的凸函式，則稱f(x)為I上的對數凸函式，這等價於：f(x)>0，且對任意a，b∈I，λ∈(0，1)，有f(λa+(1-λ)b)≤f^λ(a)f^1-λ(b)。由於不等式右端是乘積，故亦稱乘法凸函式。對數凸函式是凸函式，對數凸函式類對加法、乘法及取極限(若對數凸函式列的極限函式存在且是正的)是封閉的。類似於對數凸函式，容易得到對數凹、嚴格對數凸(凹)函式的概念，對數凸函式的概念可對複函數建立。Γ函式是對數凸函式。

基本介紹

• 中文名：對數凸函式
• 外文名：logarithmic convex function
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：數學分析(變數與函式)
• 相關概念：凸函式，幾何凸函式等

定義

如果函式在上是正的，且函式在上是凸(凹)的，則稱在上是對數凸(凹)函式。

相關定理

定理1 (i)若稱在上是對數凸函式，則任取，有

成立。

(ii) 若稱在上是對數凸函式，則任取，有

成立。

(iii) 若上二次可導，則在上是對數凸函式的充要條件為

上面結論利用凸函式的定義和性質是容易得到的；，若為對數凹函式，則上幾式中的不等號反向。

定理2設是復值函式，並且在環域內解析，，由

定義，則在上是幾何凸函式。

定理3 設是復值函式，並且在環域內解析，，由

定義，則在上是幾何凸函式。

定理4 (i)若在上是對數凸函式，且為遞增的，則也是幾何凸函式。

(ii) 若在上是對數凹函式，且為遞減的，則也是幾何凹函式。