延森不等式

延森不等式（也譯作琴生不等式）以丹麥數學家約翰·延森（Johan Jensen）命名。它給出積分的凸函式值和凸函式的積分值間的關係。延森不等式有以下推論：過一個凸函式上任意兩點所作割線一定在這兩點間的函式圖象的上方。

基本介紹

• 中文名：延森不等式
• 外文名：Jensen's inequality
• 學科：數學
• 又名：琴生不等式

一般形式

延森不等式可以用測度論或機率論的語言給出。這兩種方式都表明同一個很一般的結果。

測度論的版本

假設 是集合 的正測度，使得 。若 是勒貝格可積的實值函式，而 是在 的值域上定義的凸函式，則

機率論的版本

以機率論的名詞， 是個機率測度。函式 換作實值隨機變數（就純數學而言，兩者沒有分別）。在 空間上，任何函式相對於機率測度 的積分就成了期望值。這不等式就說，若 是任一凸函式，則

機率密度函式的形式

假設 是實數軸上的可測子集，而 是非負函式，使得

以機率論的語言， 是個機率密度函式。

延森不等式變成以下關於凸積分的命題：

若 是任一實值可測函式， 在 的值域中是凸函式，則

若 ，則這形式的不等式簡化成一個常用特例：