三角函式線

三角函式線

三角函式線(Trigonometric function line)是正弦線餘弦線正切線餘切正割餘割的總稱(有時還包括正矢線余矢等,是三角函式的幾何表示。

基本介紹

  • 中文名:三角函式線
  • 外文名:Trigonometric function line
  • 別稱:三角線
  • 表達式:sinα、cosα、tanα
  • 套用學科:數學
  • 適用領域範圍:三角函式
  • 適用領域範圍:向量
定義,正弦線,餘弦線,正切線,其他三角函式線,套用,

定義

根據三角函式定義式
,可知如概述圖所示的一些線段的長度等於某些三角函式的絕對值。為去掉絕對值,引入向量的概念。這些向量叫做三角函式線。

正弦線

平面直角坐標系中,角θ的終邊單位圓的交點為A,由A向x軸作垂線垂足B,連線AB向量
叫做θ的正弦。有
,其中r=1時,sinθ=y。即
=|y|。引入方向後,
正弦線正弦線
正弦線表示角θ的正弦值。(即
)。
正弦線的方向以上為正。
θ在第一、二象限時,
方向為上,sinθ>0;
θ在第三、四象限時,
方向為下,sinθ<0;
注意:正弦線的方向永遠從x軸指向終邊

餘弦線

平面直角坐標系中,角θ的終邊單位圓的交點為A,由A正弦線向x軸作垂線垂足為B,連線OB,向量
叫做θ的餘弦線。有
,其中r=1時,cosθ=x。即
=|x|。引入方向後,
餘弦線餘弦線
餘弦線表示角θ的餘弦值。(即
)。
餘弦線的方向以右為正。
θ在第一、四象限時,
方向為右,cosθ>0;
θ在第二、三象限時,
方向為左,cosθ<0;
注意:餘弦線的方向永遠從O點指向AB

正切線

平面直角坐標系中,角θ的終邊單位圓的交點為A,作直線OA,過點P(1,0)作x軸的垂線交OA於Q,向量
叫做θ的正切線。有
,其中r=1時,△OAB∽△OQP,即
,代入得
,整理得|tanθ|=|y|。引入方向後,。
正切線正切線
正切線表示角θ的正切值
正切線的方向以上為正。
θ在第一、三象限時,
方向為上,tanθ>0;
θ在第二、四象限時,
方向為下,tanθ<0;
注意:正切線永遠在y軸右方,方向為從(1,0)指向角終邊所在直線的方向。

其他三角函式線

如圖所示,還有一些其他不常用的三角函式線,其中正割線方向為正割線在x軸上的投影的方向;餘割線方向為餘割線在y軸上的投影的方向;餘切線永遠在x軸上方,方向為從(0,1)指向角終邊所在直線的方向;其餘不再贅述。

套用

  1. 解三角函式中不等式;
  2. 三角函式不等式的證明;
  3. 比較三角函式值的大小;
  4. 證明三角恆等變換公式。

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