哈密頓運算元

哈密頓運算元

在磁場和電場理論中,為簡化運算,引入了一些運算元的符號,它們已經成為場論分析中不可缺少的工具,套用較多的有哈密頓運算元和拉普拉斯運算元。哈密頓運算元( Hamiltonian), 數學符號為▽,讀作 del ta或nabla量子力學中,哈密頓運算元(Hamiltonian) 為一個可觀測量(observable),對應於系統的的總能量。

基本介紹

  • 中文名:哈密頓運算元
  • 外文名:Hamiltonian
  • 數學符號:▽
  • 讀作:delta 或 nabla
  • 縮寫符號:H
  • 套用學科:磁場和電場理論,數學
定義,運算規則,矢性微分運算元,與梯度、散度、旋度的關係,與拉普拉斯運算元的關係,常用公式,準備工作,公式匯總,

定義

哈密頓(W.R.Hamiltonian)引進了一個矢性微分運算元:
,稱之為哈密頓運算元或者▽ 運算元。
記號▽ 讀作“那勃樂(Nabla)”,在運算中既有微分又有矢量的雙重運算性質,其優點在於可以把對矢量函式的微分運算轉變為矢量代數的運算,從而可以簡化運算過程,並且推導簡明扼要,易於掌握。
▽ 本身並無意義,就是一個運算元,同時又被看作是一個矢量,在運算時,具有矢量和微分的雙重身份。

運算規則

矢性微分運算元

哈密頓引進了一個矢性微分運算元稱為哈密頓運算元或
運算元:
記號
讀作“那勃勒”,在運算中既有微分又有失量的雙重運算性質,其優點在於可以把對矢量函式的微分運算轉變為矢量代數的運算,從而可以簡化運算過程,並且推導簡明扼要,易於掌握。
其運算規則為
前面見過的梯度、散度和旋度都可以用
運算元表示為

與梯度、散度、旋度的關係

數量(標量)場的梯度與矢量場的散度旋度可表示為:
(1)
(2)
(3)

與拉普拉斯運算元的關係

常用公式

準備工作

設,首先引入新的矢性微分運算元,如下所示:
它既可以作用在數性函式 u=u(M) 上,又可以作用在矢性函式B(M) 上。
(1)
(2)
需要注意的是:
(1)
是完全不同的;
(2)
是無意義的。

公式匯總

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17);
(18),其中。

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