半序

半序一種條件較通常序弱的序關係。滿足自反性，傳遞性，對稱性。

基本介紹

• 中文名：半序
• 外文名：semi-order
• 領域：集合論

定義

設 S 為一集合. S的一個關係 "≥ " 如適合下列條件，則稱之為一個半序：

1) a≥a,∀a∈S

2) a≥b,b≥c⇒a≥c,∀a,b,c∈S

3) a≥b,b≥a⇒a=b,∀a,b∈S

域上的定義

域F的一個半序是F的一個子集S，且滿足下列條件:

因此，域F的一個半序實際上是加群F的一個序所決定的正元素集合.對於域，有實際意義的一種半序是所謂的T半序，這裡T是域F的一個亞正錐.域F的一個半序S，若T·SOS，則稱S為T半序;一個T半序S，若lES，則稱S為規範的.亞序域(F,T)的每個序都是規範的T半序，但反之未必.若域F的每個規範的T半序都是F的序，則稱T是一個帕施正錐或帕施序.當T是域F的弱亞正錐S;時，規範的S;半序稱為二次半序或q半序;且當S;是帕施正錐時，稱F是一個帕施域.二次半序(q半序)源於所謂的無帕施公理幾何，並在二次型理論中有套用意義.

相關概念

序

設 S 為一集合, ≥為S的半序.如果∀a,b∈S, 總有a≥b或b≥a,則稱≥為S的序.

上限

設≥為S 的半序，T為S 的子集．如果S的一個元素s , 適合s≥t (∀t∈T) , 則稱s為T的一個上限。

極大元

設≥為S 的半序，∀s∈S,只要a≥s, 必有a=s, 則稱s為S的一個極大元素．

全序集（鏈）

設 S 為一集合, ≥為S 的半序,T 為 S 的子集,如果局限於T 中≥是一個序， 則稱T為一鏈．

佐恩引理

設S 為一非空集合, ≥為S 的半序,如果任意鏈皆有上限，則 S 有一極大元素．