凝聚判別法

凝聚判別法亦稱柯西凝聚判別法，是判別各項遞減的正項級數的收斂性的方法。它是柯西(A.-L.Cauchy)於1821年發現的，若{a_n}是遞減的非負數列，p≥2且為整數，則∑a_n收斂若且唯若∑pⁿa_pn收斂，常用p=2的情形。

基本介紹

• 中文名：凝聚判別法
• 外文名：condensatiorl test(for convergence of an infinite Series)
• 所屬學科：數學
• 別稱：柯西(Cauchy)凝聚判別法
• 提出者：柯西(A.-L.Cauchy)
• 簡介：判別各項遞減的正項級數的收斂性

基本介紹

Cauchy凝聚判別法 級數收斂的充分必要條件是：凝聚項級數

收斂。

凝聚判別法的證明

證明 記，則

(1)當時，我們有

(2)當n>2^k時，我們有

從而可得

若收斂於，則由(1)知，這說明S_n有界，即收斂。

若收斂於S，則由(2)知，這說明有界，即收斂。

例題解析

【例1】級數在p≤1時發散，p>1時收斂。

證明 (1)當p≤0時，≥1，該級數顯然發散。

(2)當p>0時，{}是遞減正數列，從而考察級數

易知它是等比數列，且可得公比

即p<1時，收斂；

即p≤1時，發散。

根據Cauchy凝聚判別法，即得所證。

注 俗稱p-級數，是級數論中最重要的範例之一，許多級數斂散性的判定常以它作為比較的標準。