共軛復根

共軛復根定理一般指本詞條

共軛復根是一對特殊根。指多項式代數方程的一類成對出現的根。若非實複數α是實係數n次方程f(x)=0的根,則其共軛複數α*也是方程f(x)=0的根,且α與α*的重數相同,則稱α與α*是該方程的一對共軛復(虛)根。

共軛復根經常出現於一元二次方程中,若用公式法解得根的判別式小於零,則該方程的根為一對共軛復根。

基本介紹

  • 中文名:共軛復根
  • 外文名:conjugate roots
  • 定義:方程的一對互為共軛複數的根
  • 產生:通常在一元二次方程
  • 範疇:複數範圍
  • 領域:數學、信號與系統等
定義,套用,

定義

方程兩個互為共軛複數的根,稱為方程的一對共軛復根。
通常出現在一元二次方程中。若根的判別式
,方程有一對共軛復根。
根據一元二次方程求根公式韋達定理
,當
時,方程無實根,但在複數範圍內有2個復根。復根的求法為
(其中
是虛數,
)。
由於共軛複數的定義是形如
的形式,稱
為共軛複數。
另一種表達方法可用向量法表達:
。其中
,tanΩ=b/a。
由於一元二次方程的兩根滿足上述形式,故一元二次方程在
時的兩根為共軛復根。
根與係數關係:

套用

常係數齊次線性微分方程
如果P(x),Q(x)都是x的函式。方程
的通解一般來講是不容易求出的,當P(x),Q(x)為常數時,微分方程
的求解方法如下:
該方程稱為二階常係數齊次線性方程。當r為常數時,
的各階導數都只相差一個常數因子。設
,將其代入方程(1),得:
消去erx,得微分方程(1)的特徵方程為:
r是特徵方程(2)的解的充要條件是erx是微分方程(1)的解。
若方程(2)有一對共軛的復根
時,方程(1)的通解為:
拉式反變換
對線性系統而言,回響的象函式F(s) 常具有有理分式的形式,它可以表示為兩個實係數的s的多項式之比,即
式中,m和n為正整數,若m <n,F(s)為有理分式。對此形式的象函式可以用部分分式展開法(或稱分解定理)將其表示為許多簡單分式之和的形式,而這些簡單項的反變換都可以在拉氏變換表中找到。
若D(e)=0具有共軛復根,由於D(s)是s的實係數多項式,若D(s)=0齣現復根,必然是成對共軛。設D(s)=0中含有一對共軛復根,如
,則F(s)的展開式中將含有如下兩項
,可得對應係數K1和K2也必為共軛複數,即有
因而對應的反變換為:
Jury陣元素
如果實係數多項式
,n≥2m+1,an>0,有2m對模長等於1的共軛復根(不等於1和-1),其餘n−2m個根的模長都小於1,則的Jury陣中的元素之間滿足:n=2m+1時下列條件①②③⑤⑥成立,n>2m+1時條件①②③④⑤⑥成立。
離散系統
引理實係數多項式
的兩個根是一對模長為1的共軛復根(不等於1和-1)的充要條件是:
定理:實係數多項式
有一對模長等於1的共軛復根(不等於1和-1),其餘n-2個根的模長都小於1的充要條件是:n=3時下列條件①②③⑤成立;n>3時下列條件①②③④⑤成立:

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