公切線

公切線是指同時相切於兩條或兩條以上的曲線的直線，例如和兩個圓相切的直線叫做這兩個圓的公切線。如果兩個圓在公切線的同側，則這公切線叫外公切線；如果兩個圓在公切線的異側，則叫內公切線。

基本介紹

• 中文名：公切線
• 外文名：common tangent
• 定義：相切於兩條，兩條以上曲線的直線
• 分類：外公切線，內公切線
• 研究領域：數學

公切線性質

1.兩圓的兩條外公切線長相等；

2.兩條內公切線的長也相等。

3.兩圓的外公切線與連心線或者交於一點或者平行。

兩圓的外公切線如圖1所示。

圖1兩圓的外公切線

數量關係

外公切線的長=根號下圓心距的平方-大圓半徑減小圓半徑的平方=

內公切線的長=根號下圓心距的平方-大圓半徑加小圓半徑的平方=

外公切線與連心線夾角的正弦值=圓心距分之大圓半徑減小圓半徑；

內公切線與連心線夾角的正弦值=圓心距分之大圓半徑加小圓半徑。

位置關係

公切線的條數與兩圓的位置關係如下：

若兩圓相離，則有4條公切線；

若兩圓外切，則有3條公切線（兩外切，一內切）；

兩圓相交，則有2條公切線（外切）；

若兩圓內切，則有1條公切線；

若兩圓內含，則有0條公切線。

尺規作圖方法

方法一：平移法（如圖2所示）

1. 取圓O₁，圓O₂上的半徑O₁A，O₂B；
   
2. 以B為圓心，以O₁A的長度為半徑畫圓交O₂B於C；
   
3. 以為O₁O₂直徑畫圓D，以O₂為圓心，O₂C的長度為半徑畫圓，與圓D交與E；
   
4. 連線O₂E並延長交圓O₂於F；
   
5. 過O₁作O₁G||O₂F交圓G，則直線GF即為所求。
   

圖2 平移法

方法二：位似法（如圖3所示）

1. 作圓O₁的一條半徑O₁A，在圓O₂中取一條與之平行的半徑O₂B；
   
2. 連線BA，O₂O₁並延長交於P；
   
3. 取PO₁中點C，以C為圓心，CP長為半徑畫弧交圓O₁於D，作直線PD，那么直線PD也與圓O_1、圓O₂相切。
   

圖3 位似法

例題

作外公切線

已知：圓O半徑為R，O'半徑為r（假設R>r），求作它們的外公切線。

作法：

1. 連線OO'，作出線段OO'的中點M；
   
2. 以M為圓心，MO為半徑畫圓；
   
3. 以O為圓心，R-r為半徑畫圓，與圓M的交點記作A、A'；
   
4. 作射線OA交圓O於Q，過O'作OQ的平行線，交圓O'於P；
   
5. 過P、Q作直線，直線PQ即為所求（如圖4所示）。
   

圖4 作外公切線

作內公切線

1. 連OO'，作出線段OO'的中點M；
   
2. 以M為圓心，MO為半徑畫圓
   
3. 以O為圓心，R+r為半徑畫圓，與圓M的交點記作A，A'；
   
4. 作射線OA交圓O於Q，過O'作OQ的平行線，交圓O'於P；
   
5. 過P、Q作直線，直線PQ即為所求（如圖5所示）。
   

圖5 內公切線