備擇假設

備擇假設(alternative hypothesis)是統計學的基本概念之一，其包含關於總體分布的一切使原假設不成立的命題。備擇假設亦稱對立假設、備選假設。

基本介紹

• 中文名：備擇假設
• 外文名：alternative hypothesis
• 別名：備選假設、對立假設
• 概述：假設檢驗中關於總體分布的假設
• 相對概念：原假設
• 套用領域：統計學

備擇假設

設總體 的分布函式 中， 為未知參數， ， 為參數空間。我們將參數空間 分解為互不相交的兩個部分 及 ，即 . 考慮檢驗問題：

為非空子集， 是假設檢驗的對象，稱 為原假設（或零假設），稱 為備擇假設（或備選假設，對立假設）。

簡單備擇假設

如果 只含有兩個點，即若 ，則有

這時稱 及 分別為簡單原假設及簡單備擇假設。

複合備擇假設

如果 多於兩個點，即若 ，而 為非單點集，即有

則稱 為簡單原假設， 為複合備擇假設。

註：若 及 都是非單點集，則稱 及 都是複合的。

套用-檢驗法優劣的比較

備擇假設是原假設被否定時準備接受的假設，它是按少犯第二類錯誤(見下文)來比較檢驗法優劣時必不可少的。下面做詳細闡述。

檢驗的功效

原假設的 實際的“真偽”是不知道的，是不可觀測的。人們通過一定的檢驗法基於樣本對其“真偽”作出判斷，稱為統計推斷。客觀上，存在下面4種情況。

（1） 為真，統計推斷是拒絕 ；（犯第一類錯誤，也稱“棄真錯誤”）

（2） 為真，統計推斷是接受 ；（犯第二類錯誤，也稱“取偽錯誤”）

（3） 為真，統計推斷是接受 ；（推斷正確）

（4） 為真，統計推斷是拒絕 ；（推斷正確）

情況（4）的機率稱為檢驗的功效。顯然，檢驗的功效=1-犯第二類錯誤的機率。

比較檢驗法優劣的原則

一個好的檢驗法應該儘可能得減小犯兩種錯誤的機率，但同時減小犯兩種錯誤的機率往往難以做到。故通常的做法是：控制犯第一類錯誤的機率，使犯第二類錯誤的機率儘可能地小（也可以說使檢驗的功效儘可能地大）。

一致最優功效檢驗（UMPT）

依據上述比較原則，在檢驗水平為的檢驗（相當於控制了犯第一類錯誤的機率）中，功效最大者（相當於犯第二類錯誤的機率最小者）稱為水平為的一致最優功效檢驗，簡記為UMPT（Uniformly Most Powerful Test）。

備擇假設的選取

由於假設檢驗的基本原理為：在一次試驗中，小機率事件不易發生（或幾乎不可能發生），因此，我們在確立原假設與備擇假設時應遵循以下兩個原則：

（1）原假設 是在一次試驗中有絕對優勢出現的事件，而備擇假設 在一次試驗中不易發生（或幾乎不可能發生）的事件。 因此，在進行單側檢驗時，最好把原假設 取為預想結果的反面，即把希望證明的命題放在備擇假設上。

（2）將可能犯的嚴重錯誤看作第一類錯誤，因為犯第一類錯誤的機率可以控制， 犯第二類錯誤的機率是無法控制的。 如醫生對前來問診的病人作診斷時，可能會犯“有病看成無病”或者“無病看成有病”的錯誤，相比較而言，“有病看成無病”的錯誤更嚴重，故應將“問診人有病”作為原假設。 而在某項疾病普查中，將“被檢查人無病”作為原假設就不恰當了。