停時

停時((stopping time)一類隨機時刻，指具有某種與將來無關性質的隨機時刻。給定機率空間(Ω，F，P)及其濾子F_t，映射τ：Ω→T∪{∞}，如果對任意的t∈I，{ω：ω∈Ω，τ(ω)≤t}∈F_t，則稱映射τ為一個(F_t)停時。

基本介紹

• 中文名：停時
• 外文名：stop time
• 所屬學科：數理科學
• 性質：一種特殊的隨機變數
• 相關概念：隨機變數、機率空間等

基本介紹

停止時間是一種特殊的隨機變數，表示一個隨機的時刻。例如，設為停時，那么這意味著兩方面內容，第一，是隨機的，第二，的取值範圍是為已知，當結果出現時，可表示為

也就是說，該隨機變數的結果是一個特定時刻。

現在考慮建立在債券上的美式期權，該期權可以在當前時刻t=0與到期日T之間的任何時刻執行，如果期權執行者認為時機已到，那么他將執行期權，否則他將選擇等待直到到期。

所以，我們需要研究一個“隨機日期”，它對於期權定價非常重要，實際上，提前執行的權力為美式期權增加了額外的價值。

我們設為期權的執行日期，很顯然已知信息集，我們就可以知道該期權是否已經被執行，也就是說，已知，我們可以知道哪種情況成立：

該式表示期權已經被執行，或者

該式表示期權尚未被提前執行。

的這種性質可以用來定義停止時間。

定義1 停止時間是可測的非負隨機變數，滿足

1)已知，我們可以判斷是否有

2)我們有

對於一般的衍生證券，期限都是有限的，因此期權要么在一個有限的時刻被執行，要么過期失效，這意味著第二個等式，即以1機率有限，將恆成立。

停時的基本性質

下面列出停時的基本性質。

定理 設均為停時，則有

(1)是停時；

(2)是停時；

(3)如果，則；

(4)是可測的。

首次進入某個集合或者首次達到的時刻是一個停時。事實上，設E是一個度量空間，X是關於濾子適應的、E為狀態空間的隨機過程，對於，定義

則就是一個停時。

停時的作用

在實際操作中，我們應該如何利用停時呢?

最明顯的一個用途是用來代表期權的執行時間，對歐式期權而言，執行時間不含隨機因素，期權只能在到期日被執行，因而我們有

而對於美式期權，一般是隨機的。

考慮一份美式看漲期權，標的資產為，滿足以下SDE：

其中漂移項和擴散項係數滿足一般的規範性條件。

和過去一樣，衍生證券的價格可以在等價鞅測度Q下表示，但此時多了一個複雜之處，證券持有者不一定要等到T時刻才執行期權，他可以在利潤較高時提前執行。

也就是說，如果持有者必須等到到期日才能執行期權，那么該期權 t 時刻價值為

而如果他可以提前執行，那么價值為

其中是所有可能停止機會的集合，是的最優選擇，這裡代表期權持有者可能執行該看漲期權的日期。

因此在 t 時刻，我們可以計算出一系列，包含所有停止時間可能的取值，為了求出正確的價格，我們要求這些的上確界。