濾子

濾子是一類集族，設X是集合，F是X的非空子集族，若F滿足：

1.F的任意兩個成員的交屬於F；

2.若A∈F，A⊂B⊂X，且B∈F； 則稱F為X上的濾子。為了用極限的語言刻畫拓撲，嘉當(H.Cartan)於1937年定義了濾子，布爾巴基(N.Bourbaki)詳細討論了濾子的概念，並用它討論了極限，濾子的理論也是研究極限理論的一種工具，它和網的理論是等價的。巴特爾(R.G.Bartle)以及布龍斯(G.Bruns)和施密特(J.Schmidt)於1955年分別證明了它們的等價性。設F₁，F₂為集合X上的兩個濾子，若F₁⊂F₂，則稱F₁弱於F₂或F₂強於F₁，這種強弱關係是濾子間的序關係。

基本介紹

• 中文名：濾子
• 外文名：filter
• 屬性：一類集族
• 創始人：昂利·嘉當
• 引進時間：1937年

定義

濾子： 設 是X的非空子集族，滿足：

(1) ；

(2)若 ．則 ；

(3)若 ，則 。

則稱 為一個濾子(filter)。

濾子基： 設 為X的非空子集族，若它滿足

；

若 ，則存在 使得 ；

則稱 為X的一個濾子基。

例1 設 是一個點網， ，令

則 是一個濾子基。事實上，對於任意兩個 ，由於D是定向集，故存在一個，使得 ，容易看出， 。同時，每個 顯然非空，因此 是一個濾子基，這裡的集合 通常稱為由 確定的終止集，而 則稱為由 確定的濾子基。

相關概念

定義1

若 為X的濾子基，則容易看出 是一個濾子，稱之為由 生成的濾子，而 也稱為 的濾子基。

定義2

設 為拓撲空間X的一個濾子， ．如果 ，都有 ，則稱x為 的聚點。濾子 的聚點全體構成的集合記作adh 。如果對於 ，則稱x為 的極限，此時也稱 在X中收斂於x， 在X中的全體極限構成的集合記作lim 。

定義3

設 拓撲空間X的兩個濾子，若 ，則稱 比 小(粗，或弱)，也稱 比 大(細，或強)。

相關定理

定理1

設 和 是空間X的兩個濾子基，則

(1) 是一個濾子基；

(2)如果每個 ,則 是一個濾子基；

(3)對每個有限子集族 ，存在一個 使得

特別地，一個濾子基的有限個元素的交都是非空的。

例2 (1)設A是拓撲空間X的一個非空集合，則 顯然是一個濾子基。如果 ，則 在X中收斂於a，如果 ，則每個 都是 的聚點。

(2)不難驗證，拓撲空間X中點z的鄰域系N(x)是一個濾子，稱為鄰域濾子，它當然收斂於x，同時也以x作為聚點。

定理2

設 為拓撲空間X的一個濾子，則 。

定理3

設 拓撲空間X的一個濾子，則 。

這一點從 的定義即可看出。

定理4

如果 為Hausdorff空間X的一個收斂濾子，則 是單點集，且有關係式

例2 考慮Sierpinski空間 是一個濾子，且不難驗證， 既收斂於0，也收斂於1。

下面這個定理建立了點網和濾子之間的關係。

定理5

(1)設 為拓撲空間X的一個濾子，則存在X中的點網 使得

(2)設 是X中的任一點網，則存在X的一個濾子 使得

這個定理表明，在描述收斂性方面，點網與濾子有著相同的作用，但是，對於一個給定的情形，往往其中一種描述會優於另一種描述，或者說，其中一種描述會比另一種描述更為方便。

由定理5，容易得到下面兩個定理，其證明較為簡單。

定理6

設 為拓撲空間X的一個濾子，則 中有一個 更粗的濾子 收斂於x。

定理7

拓撲空間X是Hausdorff空間 X中的收斂濾子只有一個極限。

由定理5和定理1容易得到下面的定理。

定理8

拓撲空間X是緊空間 X中的任一濾子 ，都有 。