互反函式

已知函式y=f(x)，從表達式y=f(x)出發，經過代數恆等變形，將變數x表示為y的表達式，若這個對應規則表示變數x為y的函式，則稱為函式y=f(x)的反函式，記作x=f^-1(y)。這樣得到的兩個函式叫做互反函式。

由於習慣用變數記號x表示自變數，用變數記號y表示函式，因此在反函式x=f^-1(y)的表達式中，再將變數記號x改寫為y，變數記號y改寫為x，得到函式表達式y=f^-1(x)，於是也稱函式y=f^-1(x)為函式y=f(x)的反函式。

基本介紹

• 中文名：互反函式
• 外文名：reciprocal function
• 所屬學科：數學
• 相關概念：反函式、逆運算、導數等

基本介紹

在數學中，有好些運算是互逆的。加和減，乘和除，乘方和開方，都屬於這一類。一個自變數x，在經過一種運算之後得到y，再對這y進行相應的逆運算，結果是仍回到x。例如，以a乘x，得y =ax，將這y除以a，又得x，又如，將x平方，得再對y開平方，又得x。今以表示前一運算，以表示其逆運算，則上述關係可表示如下：

將寫在後的方括弧內，就表示內的那個變數y當用代入。例如，它們就符合上述條件，理由是:

從的組成上看，它也是一種複合函式。對式(1)兩側求導，當有:

式中：——對y的導數；

——對x的導數；

1——x對x的導數。

在式(1)中，一個運算是用將x變成y，另一個運算是用將y變成x，在這條件下，和實際上是同一個方程，它們的圖形也是同一條曲線。以和為例，將後一式平方，得移除作乘，就得前一式。由此可見，若某個方程按對y求導要比對x求導方便，其切線的斜率y' (式(2)中的) 也可用x' (式(2)中的) 的倒數表示；即：

例如，所給的式子是則於是，

若將代人，。而在將化為再求導時，結果是相符的。但用式(B)來表示y'，時常較為簡捷。

既然和在圖上是同一條線，那就容易混淆。又因是表示將作為內的變數代人，至於內的變數原先是用什麼字母來代表，那卻沒有多大關係。因此，常改作這也就是將原給的內的x和y對換，而後變形為。這樣的和就叫互反函式。

冪函式的反函式

利用互反函式的這一對稱性質來看冪函式，將見：

(1) 每一個冪函式的反函式仍是一個冪函式，因此，冪函式組成一個自反的函式族。這就是說，的反函式是(且後式也可寫作)，而它們都是冪函式。

(2)指數是真分數的冪函式，它的反函式(也是冪函的指數就大於1(是原來那個真分數的倒數)。由於指數大於1的冪函式的描點製圖較易進行，可以先將反函式圖形作出，再利用原函式和反函式對直線的對稱，原函式作出。