代數是數學的一個分支。傳統的代數用有字元 (變數) 的表達式進行算術運算，字元代表未知數或未定數。如果不包括除法 (用整數除除外)，則每一個表達式都是一個含有理係數的多項式。特別重要的是結合律和交換律。代數方法使問題的求解簡化為符號表達式的操作，已滲入數學的各分支。
中心單代數(central simple algebra)亦稱正規單代數。是結構較清楚的一類重要單代數。若域F上代數A的中心是F本身，則稱A為中心代數(正規代數)。中心是F的F單代數稱為中心單代數。
基本介紹
- 中文名：中心單代數
- 外文名：central simple algebra
- 領域：數學
- 別稱：正規單代數
- 本質：單代數
- 相關術語：F單代數
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概念
中心單代數(central simple algebra)亦稱正規單代數。是結構較清楚的一類重要單代數。若域F上代數A的中心是F本身，則稱A為中心代數(正規代數)。中心是F的F單代數稱為中心單代數。每一個有單位元的單代數都是其中心上的中心代數，所以有單位元的單代數的研究可歸結為對純量擴張與中心單代數的研究。有限維單代數恆有單位元，所以恆為其中心上的中心單代數。然而域F上無限維單代數A未必有單位元，但此時A的形心是域，設為C，通常稱A為C(特別地C=-F時)上中心單代數。當A有單位元時，A的形心就是A的中心。任何單環都是形心上中心單代數。
單代數
單代數跟單環有重要聯繫。單環是與群論中單群類相對應的基本環類。一個環(代數)R，若只有平凡理想(即除R和零理想外不含其他理想)，則稱R為弱單環或單純環(弱單代數)。弱單環(弱單代數)可分兩類：一類是R2≠0，此類環(代數)稱為單環(單代數)，它的冪零根為零；另一類是R2=0，R稱為零乘環，它的冪零根是R本身。域F上的全矩陣環是單環，也是F上的單代數。F上有限維單代數必含單位元。
代數
代數是數學的一個分支。傳統的代數用有字元 (變數) 的表達式進行算術運算，字元代表未知數或未定數。如果不包括除法 (用整數除除外)，則每一個表達式都是一個含有理係數的多項式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一個代數方程式 (參見EQUATION)是通過使多項式等於零來表示對變數所加的條件。如果只有一個變數，那么滿足這一方程式的將是一定數量的實數或複數——它的根。一個代數數是某一方程式的根。代數數的理論——伽羅瓦理論是數學中最令人滿意的分支之一。建立這個理論的伽羅瓦(Evariste Galois，1811-32)在21歲時死於決鬥中。他證明了不可能有解五次方程的代數公式。用他的方法也證明了用直尺和圓規不能解決某些著名的幾何問題(立方加倍，三等分一個角)。多於一個變數的代數方程理論屬於代數幾何學，抽象代數學處理廣義的數學結構，它們與算術運算有類似之處。參見，如： 布爾代數(BOOLEAN ALGEBRA);群 (GRO-UPS);矩陣(MATRICES);四元數(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。這些結構以公理 (見公理法 AXIOMATICMETHOD) 為特徵。特別重要的是結合律和交換律。代數方法使問題的求解簡化為符號表達式的操作，已滲入數學的各分支。
設K為一交換體。把K上的向量空間E叫做K上的代數，或叫K-代數，如果賦以從E×E到E中的雙線性映射。換言之，賦以集合E由如下三個給定的法則所定義的代數結構：
——記為加法的合成法則(x，y)↦x+y;
——記為乘法的第二個合成法則(x，y)↦xy;
——記為乘法的從K×E到E中的映射(α，x)↦αx，這是一個作用法則;
這三個法則滿足下列條件：
a) 賦以第一個和第三個法則，E則為K上的一個向量空間;
b) 對E的元素的任意三元組(x，y，z)，有
x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;
c)對K的任一元素偶(α，β)及對E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).
設A為一非空集合。 賦予從A到K中的全體映射之集ℱ(A，K)以如下三個法則：
無論是在代數還是在分析中，代數結構都是最常見到的結構之一。十九世紀前半葉末，隨著哈密頓四元數理論的建立，非交換代數的研究已經開始。在十九世紀下半葉，隨著M.S.李的工作，非結合代數出現了。到二十世紀初，由於放棄實數體或複數體作為運算元域的限制，代數得到了重大擴展。
中心單代數性質
性質1：根據Artin-Wedderburn定理，有限維簡單代數A與某個分割環S的矩陣代數M（n，S）是同構的。因此，每個Brauer等價類中都有一個獨特的分數代數。
性質2：中心單代數的每一個自相似性都是一個內在的自相似性（從Skolem-Noether定理得出）。
性質3：中心單代數作為其中心上的向量空間的維數總是一個正方形：度是該維度的平方根。中心簡單代數的Schur指數是等價代數的程度：它只取決於代數的Brauer類。
性質4：中心單代數的時期或指數是Brauer類作為Brauer集團元素的順序。這是指數的除數，兩個數字由相同的因素構成。
性質5：如果S是中心單代數A的簡單子代數，則dimF S分割dimF A.
性質6：場F上的每個四維中心單代數與四元數代數是同構的；實際上，它是一個二乘二矩陣代數，也可以是分數代數。
性質7：如果D是K的中心分數代數，其中階數D具有素因子分解：
